Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
71
двусторонних идеалах
(3.G) Зх = {b <Ez 33 | тх (Ь) — 0, тх (ab) — 0, тх (Ьс) = О, тх (abe) =
= о, У а, с е Щ.
ТооремаЗ. Пусть S есть if-алгебра над полем. С и линейная положительная форма (1.2) на if-алгебре Л. удовлетворяет условию
(3.7) Vg е ЛЗс < оо: <h*g+ghy < с </г*/г>, VA €Е
ограниченности || i (g) || ^ с ассоциированного операторного представления
i (g) = j (g) — I. Снабдим Л индуктивной сходимостью, полагая gn -> О, если || g„ ||^ —> 0 для всех р = 1, 2, оо и некоторого интегрируемого Де где g„ е Л^ Уп, || g ||t = || I (g) || при {л Е X |g (z) ф 0} С А и
II g II? = Й II * (*, g) II2 dxУ2, || g ||f ¦= S | / (x, g) | dx.
Д Л
Тогда следующие условия эквивалентны:
(i) Непрерывный о индуктивной сходимости на Л функционал \b (g) = = е^(*> является псевдопуассоновским состоянием, описываемым, абсолютно непрерывной функцией Цд (6) = ц (6д) в смысле Цд (Ь) = 0 для o;ez Ь 5/, если
4е J и цд = ^ dx = 0.
л
(ii) функционал ц: Л —> С имеет интегральный вид (3.4), где тх: SS —>
->С — линейная функция (3.5), определяемая почти всюду на X положительной числовой функцией fi (х) 0, ess sup fi (х) ~ <[, VA ?= А, Цд =
*ед
= § daI <[ ос; вектор-функцией т на X со значениями т (х) <ЕЕ Жх, опреде-д
ляемыми значениями
т*(х)ЕЕЖ*, ||m(a:)||xdx<; ос, VA еЕ А: Цд — § dx оо, д д
непрерывных (почт-и для каждого х ?Е X) форм т* (.г) к = (т (х) | к) на гильбертовых пространствах Жх — ?*; и функцией т0 на X со значениями
т0(х)?Е:Эд*х, ^ sup (B,m0(x)ydx<^oc, VA GE А: |Дд = \ dx <[ oo,
д о ^b<zix д
в положительных формах на С*-алгебрах 3?х, удовлетворяющих почти всюду неравенству
(3.8) fi (х) <В*В, т0 (х)у > || Вт (х) ||2, У В t= 3?х.
(iii) существует треугольное представление
8 ?ЕЛ~ g (х) = Ig" (*)], = о - gl Vjt, V С= 0, + },
if-алгебры Л в банаховом пространстве К — Ll (X) 0 Ж 0 L°° (X) с индефинитной метрикой (2.1), определяемой скалярным произведением (кс \ к0) =
= f j| к (х) 'fxdx гильбертова пространства Ж = ^J Ж Xdx, локально псевдо-унитарно эквивалентное каноническому представлению (3.3) в смысле g (г) = = (х) i (х, g) S (х) для разложимых операторов S (х) в С 0 ЭСХ © С вида
(1.10) такое, что
(3.9) и*)=$(И*)в;(*) + <«2(*).л#(х)»<*х. vge л,
72
D. П. БЕЛАВКИН
где (1 0 — локально-ограниченная измеримая функция и М О — ло-
кальноинтегрируемая функция с положительными значениями М (х) е= ;Й*.
Д о ii а з а т е л ь с I и о. Прежде всего заметим, что если разложимые оператор-функции i.x (b) локалыю-ограничены, то пространство Ж канонического представления / (g) = /ft (g) ^-моноида Ж простых функций g: А' ,“й, полное относительно семейства полунорм (1.7), является гильбертовым. Это вытекает из неравенства
II к ||' = I! j (f)*k || < || Л || 4 || i U)*k || < (1 4- || / ||) || к ||,
где || ) || — max || &i|U(0 согласно (3.6) для любой простой интегрируе-
i
мой функции / (х) — bi, х (= Д (О» определяемой конечным разбиением Д =
== 2Д (*) ее носителя Д •- {х (ЕЕ X | / (х) Ф 0}.
Вначале докажем простые импликации (iii) (ii) ==> (i), а затем построим представление (3.9) в (iii) по условиям, сформулированным в (i).
(iii) =Ф (ii). Пусть S (х) — треугольное преобразование вида (1.10), описываемое существенно-измеримой функцией U (х) Й (Жх) с унитарными значениями, функцией е0: х €Е X >-+ еп (х) Ж*, определяемой значениями e'ri (х) GE Жх векторной функции е*, || е? (х) Ц* dx оо, УД: цЛ =
л
= ^dx <] оо, и скалярной локально-интегрируемой функцией е+: ех (х) -f
4 еЦх) = — |! е*п (х) ||х- Тогда g0 (х) = U* (х) I (х, g) U (х),
g~ (х) = е0 (х) U (х) к (х, g) + е„(а) V (х) i (х, g) U* (х) et (х) +
-I к* (х, g) U* (х) е$ (х)х
и форма (3.9) принимает вид (3.4), (3.5), где т* (х) = е0 (х) U (х)г т (х) — U* (х) е* (х) — локально квадратично-интегрируемая функция:
5II"1 Wifi dx < ОО, и л
<В, т°0 (х)У (U* (х) BU (х), М {х)у 4 Ц (х) т* (х) Вт (х)
— положительная локально-интегрируемая функция:§ <Вх, т0 (x)ydx <' oov
л
удовлетворяющая неравенству (3.8) в силу положительности <В*В, М (х)У >
> 0, ц (х) ^ 0 для всех
(ii) =Ф (i). Если ц есть интеграл (3.4) линейной формы (3.5) и выполняется условие (3.8), то ц (g*g) ^ 0, Vg GE Ж, поскольку
fn{x,g*g) = <i(x,g*g),ml(x)y f m*(x)k(x,g*g) +
-f к* (x, g*g) m (:r) 4 ц (x) I (x, g*g) =• <t (x, g)* i (x, g), m0 (x)> +
+ m* (x) i (x, g)* к (x, g) -f- к (x, g)* i (x, g) m (x) + p (x) к (x, g)* к (x, g)
= <i {x, g)* i (x, g),m°0{x)y — —^1| i(x, g) m (ar)||2 -f ^Wll*(a;. g) +
-f- i (x, g) m (.г) ц (x) |P > 0.
Благодаря линейности ц это эквивалентно положительной определенности
X (а+с) хе = Цд ( S Х*а*сис) цд (Ь*Ь) > 0
а, t а , с
формы (6) = fi (bд). Отсюда вытекает, что фй (g) — е^<*> есть псевдо-пуас-соновское состояние, описываемое абсолютпонепрерывной комплексной ме-
хаотические состояния и стохастическое ИНТЕГРИРОВАНИЕ
73
рой цл {Ь) \тх (Ь) ах с плотностью тх (b) — т (х, 6д). Оно является не-л
прерывным относительно индуктивной сходимости по полунормам }| ,
р —¦ 1, 2, ос, в силу локальной ограниченности функции ц, локальной U-интегрируемости вектор-функции т и локальной //-интегрируемости т0.
