Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
Назовем треугольником на сфере фигуру, образованную тремя отрезками прямых, соединяющих три точки на поверхности сферы. На рисунке показан один из таких треугольников APWS. Для плоского треугольника сумма внутренних углов треугольника равна 2тс. Постоянна ли сумма внутренних углов треугольника на сфере? Чему она может быть равна?
И, наконец, что следует назвать параллельными прямыми на сфере и существуют ли они?
4. Что можно сказать относительно геометрии на поверхности прямого кругового цилиндра? В чем ее основные особенности? Составьте список вопросов, на которые следует получить ответ в первую очередь.
ГЛАВА I]
И. ДВИЖЕНИЕ
Перемещение тела. Траектория. Путь
в пространстве ОМ -радиус-вектор точки М, ОМк - его проекция на плоскость XOY
Движение тела в пространстве состоит в изменении со временем его положения относительно других тел. Описать движение можно, задав положение тела в каждый момент времени. Начнем с рассмотрения движения достаточно малого тела - материальной точки. Положение точки М в пространстве определено заданием трех ее координат. В качестве координат могут быть выбраны декартовы координаты х, у, z - расстояния от начала отсчета О до проекций точки М на взаимно перпендикулярные оси OX, OY и OZ (рис.1).
Существует много других возможностей описания положения точки в пространстве. При этом оси координат могут быть прямыми линиями, но углы между ними могут быть выбраны непрямыми. Можно в качестве координатных поверхностей выбирать любые подходящие поверхности. Например, положение точки М определено однозначно, если задано ее расстояние от начала отсчета г, угол в, который составляет отрезок ОМ с некоторой заранее выбранной осью OZ, и угол а между плоскостью, проходящей через ось OZ и точку М, и некоторой ранее выбранной плоскостью,
проходящей через ось ту же ось (рис. 2). Такая система координат называется сферической. В географии угол в называется широтой, угол а - долготой точки М на сфере. Координатные поверхности определяются условием постоянства одной из координат. В сферических координатах это сфера с центром в начале отсчета и с радиусом г -const, конус с осью OZ и углом в между осью и образующей в = const и плоскость, проходящая через ось OZ под углом а к некоторой определенной плоскости, начальной для отсчета углов долготы. На рис.2 это плоскость XOZ Задание трех сферических координат - это задание трех определенных координатных
Рис.2 Сферическая система координат r,g,a в пространстве ОМ - радиус-вектор точки М, | ОМ | =г - радиус сферы, | О.М | = r-sirn? -радиус окружности q=cons) на поверхности сферы
14
ДВИЖЕНИЕ
поверхностей, точка пересечения которых определяет положение точкиМ
Новый пример описания положения точки в пространстве дает цилиндрическая система координат, в которой задаются: расстояние г от оси OZ, расстояние z от некоторой плоскости, перпендикулярной оси OZ, и угол а между начальной плоскостью, проходящей через ось OZ, и плоскостью OZM, проходящей через ось OZ и точку М (рис.З). Координатные поверхности в цилиндрической системе: прямой круговой цилиндр радиуса г с осью OZ, перпендикулярная оси OZ и отстоящая на расстоянии г от начала этой оси плоскость, и плоскость OZM, проходящая через ось OZ и точку М, составляющая угол а с начальной плоскостью XOZ.
Рассмотренные примеры показывают, что существует много разных способов задания положения одной и той же точки в пространстве. С другой стороны, понятно, что законы природы не должны зависеть от произвола в выборе системы координат и для их формулировки надо воспользоваться математическим аппаратом, который тоже не зависит от указанного произвола. Необходимый аппарат дает векторная алгебра Правила действия над векторами, свойства векторных величин, естественно, должны отражать объективные свойства пространства. Опыт показывает, что в нашем мире свойства пространства в большинстве случаев описываются евклидовой геометрией.
Вектором а будем называть прямолинейный отрезок, определенный заданием его длины а = |а| и направления. Длину вектора называют модулем.
Положение точки в пространстве можно определить, задав вектор ОМ, т.е. задав направление прямой, проходящей через начало отсчета О и точку М.
„ „ _ Вектор положения точки называют радиусом-векто-
гис 4 Сумма векторов ^ Г
ром точки и обозначают г.
Определим две алгебраические операции над векторами.
1. Произведение вектора а на число X есть новый вектор Ь = Ха, направление которого совпадает с направлением а, если ?^>0, и противоположно а, если ^.<0, а длина в X раз больше длины вектора а, т.е. b = Д.а.
2. Суммой векторов а + b назовем новый вектор с, который получается замыканием двухзвенной ломаной, построенной на векторах а и b так, что конец вектора а является началом вектора Ь, а начало вектора с = а + b совпадает с началом а, и конец - с концом вектора b (рис 4).
г, a, z в пространстве ОМ -радиус-вектор точки М, г -радиус цилиндра
15
ГЛАВА 11
Нетрудно видеть, что если свойства пространства описываются геометрией Евклида, то
a + b = b + a (1)
