Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
¦" "2 =
a2 -ate 2
1 - е i е 2
А2С: а, = е ,а2,
(5.3.10)
A,Bi: a, = 1/5,, А2 В2ot 2 = 1/5 2
(5.3.11)
и параллельны координатным осям.
(33
a.f 0
Рис. 5.3.6. Взаимное расположение бифуркационных линий на параметрическом
портрете системы (5.3.8) при е, е, < 1 и фазовые портреты на плоскости и
= 0 для областей /, и 2
Возможны три варианта взаимного расположения прямых A, Bt и А2В2
относительно лучей А]С и А2С (см. рис. 5.3.6) :
а) ? 151 < 52,е252 < 8i, б) е 2 5 2 >62,е252 < 5 2,
в) е 1 5 1 ^ 82 , 6 2 82 ^ 8 1 .
Портреты б ив, представленные на рис. 5.3.6, эквивалентны в том смысле,
что переходят друг в друга при смене индексов в системе, и потому для
полного исследования достаточно рассмотреть один из них.
Точки пересечения бифуркационных прямых AjBj и А) С, и прямых А2В2 и А2С
отвечают бифуркациям условной коразмерности два одновременного слияния
трех равновесий: AjBjC и A2Bj С, соответственно.
Перечисленными выше исчерпываются бифуркации слияния равновесий, лежащих
на координатных плоскостях. Кроме того, в системе (5.3.8) возможны три
бифуркации типа слияния пары равновесий, а именно бифуркации слияния
точки D с точками Bt, В2, и С. Уравнения соответствующих бифуркационных
линий имеют вид
^2(a18i - 1) + e2Pi
BiD: а2 =-
Mi
" " 0l((r)282 - 1)+ 6102, /С21-А
B2D: <*) =---------------------------, (5.3.12)
0252
CD: a,(5, - S2e2) + a2(S2 1 -e,e2.
Нетрудно видеть, что прямая CD проходит через обе точки At В]С и
Рис. 5.3.7. Параметрический портрет системы (5.3.8) при е,е2 < 1, е, <
62/6,, е2 < <6,/62иа) 1/е, >/},//}, >е2;б) /32//3, < е2
А2В2С, а прямые Bi D и B2D - через точки AjB^ и А2В2С соответственно,
причем имеют одинаковый положительный наклон |32 .
Заметим, что точки AiBtC и А2В2С, имеющие условную коразмерность два,
т.е. отвечающие выполнению двух условий типа равенств, наложенных на
коэффициенты системы, соответствуют одновременному слиянию на фазовом
портрете четырех равновесий: Аь Bi, С, D и А2, В2, С, D.
На рис. 5.3.7 и 5.3.8 представлены все возможные варианты взаимного
расположения бифуркационных линий для рассматриваемого случая е i€2 < 1.
Соответствующие фазовые портреты на рис. 5.3.9 изображены схематически
(см. рис. 5.3.5).
Заметим, что точки В, и В2 всегда устойчивы в ''своих" координатных
плоскостях, но в зависимости от значений параметров могут быть как
узлами, так и фокусами. Как выяснится в дальнейшем, общее динамическое
поведение системы в этих двух случаях может быть существенно различным.
Отложим рассмотрение случая, когда одна из точек В] или В2 или они обе
являются фокусами, на конец настоящего раздела и начнем с рассмотрения
параметрической окрестности бифуркационных линий А!В! и А2'В2, т.е. со
значений параметров, при которых точки В] и В2 являются устойчивыми
узлами. В этом случае трехмерные фазовые портреты системы можно адекватно
схематически изобразить их двумерными проекциями на плоскость и i/al +
w2/a2 = 1. На параметрических портретах изображены лишь участки
бифуркационных прямых, отвечающие бифуркациям, происходящим в первом
октанте фазового пространства системы. Заметим, что для рассматриваемого
случая е2 < 1 параметрический портрет системы исчерпывается прямыми,
отвечающими бифуркациям слияния равновесий.
Перед тем как переходить к рассмотрению случая 6,62 > 1, дадим
экологическую интерпретацию полученным результатам. Прежде всего заметим,
что неравенство < 1 означает, что межвидовая конкуренция жертв слабее
внутривидовой, и поэтому возможно устойчивое сосуществование обеих
популяций жертвы в отсутствие хищника. При введении в сообщество хищника
возможны, как следует из рассмотрения фазовых портретов, следующие
режимы:
1. Равновесие глобально устойчиво:
а) популяция одного из видов жертвы в отсутствие хищника (1,13)-,
135
Рис. 5.3.8. Параметрический портрет системы (5.3.8) при е,е3 < 1, е, >
53/5,, е, < <6i/6a": 8, -63 е3
а) l/е, >р 3/0, > е, б) 03/(3, > 1/е,; в) е3 > 0,/Р1
>----------; г) 03//3, <
53 -8, е,
5,_83е3
< ---------------
83-6,е,
б) сосуществующие популяции жертвы без хищника (2,14);
в) популяция одного из видов жертвы, сосуществующая с хищником (3, 4, 7,
8, 12 >;
г) сосуществование всех трех видов (5, 6, 9, 10,11);
2. Триггерные режимы;
а) либо одна из популяций жертв сосуществует с хищником, либо вторая
существует без него (16);
б) с хищником сосуществует либо одна популяция жертвы, либо другая, но не
обе одновременно (17);
в) сосуществование одной из популяций жертвы с хищником либо обеих
популяций жертвы в отсутствие хищника (15).
Заметим, что если наличие в системе четырех типов глобально притягивающих
режимов очевидно, то появление триггерных режимов при введении хищника в
сообщество, где в его отсутствие либо одна из популяций жертв вытесняла
конкурента, либо популяции устойчиво сосуществовали, представляется
весьма интересным.
Перейдем к рассмотрению случая е,е2 > 1 (рис. 5.3.10). Основное отли-
136
0
Ц
0
ТЛ
@
