Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
теряет устойчивость с рождением малого устойчивого предельного цикла
(рис. 3.4.5).
Параметрическая точка SB касания линии S и N отвечает бифуркации
коразмерности два существования на фазовом портрете системы двукратно
вырожденной точки - равновесия с двумя нулевыми собственными числами, или
вырожденного седлоузла. Параметрическая окрестность этой точки и
соответствующие фазовые портреты в случае общего положения исследованы в
работах Богданова [31, 32], доказавшего, что в параметрическую точку
касания линий нейтральности N и линий седлоузлов S входит еще одна
бифуркационная линия. Это линия значений параметров, при которых на
фазовом портрете системы одна из сепаратрис, выходящих из седла,
совпадает с одной из сепаратрис, входящих в седло, образуя петлю
сепаратрис, или сепаратрисный цикл (рис. 3.4.6, б). В этих же работах
установлено взаимное расположение линий нейтральности N и линии петли
сепаратрис в окрестности точки максимального вырождения. Линию петли
сепаратрис обозначим буквой Р.
На параметрическом портрете системы (3.4.8) линия Р располагается ниже
линии N. Один конец линии Р входит в начало координат - в параметрическую
точку, которая, как говорилось выше, формально отвечает бифуркации
бесконечно большой коразмерности.
Нанесенные на плоскости {а, 5} линии исчерпывают параметрический портрет
системы. Нетрудно показать, что взаимное расположение бифуркационных
линий остается одним и тем же при любых значениях у. Заметим, что все
четыре области имеют общую точку, а именно точку SB Таким образом,
бифуркационные события, происходящие в системе, мо-
48
Рис. 3.4.6. Фазовые портреты системы (3.4.8) при значениях параметров на
бифуркационных пиниях
а - S (левее и выше точки 33) ;б - Р; в - S (правее и ниже точки 33)
гут быть описаны при движении в окрестности точки 33вокруг нее. Начнем с
области 1 и будем двигаться вокруг точки 33 в направлении против часовой
стрелки (см. рис. 3.4.4, б).
При значениях параметров, лежащих в области. 1, на фазовом портрете
система равновесий в первом квадранте, как уже указывалось, не существует
вовсе и все траектории уходят на бесконечность.
При пересечении в пространстве параметров линии седлоузлов S выше точки
33 и переходе в параметрическую область 2 на фазовом портрете системы
рождается устойчивый седлоузел АС (см. рис. 3.4.6, а), расщепляющийся
затем на устойчивый узел А и седло С.
При продолжении движения по плоскости параметров в указанном направлении
параметрическая точка пересекает не обозначенную на параметрическом
портрете линию, отвечающую нетопологической перестройке равновесия А из
узла в фокус (см. рис. 3.4.5, область 2).
Заметим, что на рис. 3.4.5,область 2, входящая в седло С сепаратриса
является границей области притяжения устойчивого равновесия А и отделяет,
таким образом, область начальных условий, из которых траектории системы
притягиваются к А, от области начальных условий, из которых траектории
уходят на бесконечность.
Следующая бифуркация, происходящая в системе, - это потеря устойчивости
фокусом А при пересечении значениями параметров линии нейтральности N и
переходе параметрической точки в область 3. Как указано выше, при этом
вокруг равновесия А рождается малый устойчивый предельный цикл (см. рис.
3.4.5, область 3).
При значениях параметров, лежащих в области 3, входящая в седло С
сепаратриса ограничивает область притяжения устойчивого предельного
цикла, и в зависимости от начальных условий траектории системы либо
наматываются на цикл, либо уходят на бесконечность.
При дальнейшем движении по параметру в указанном направлении цикл растет
и наконец в момент, когда параметры системы принимают значения, лежащие
на параметрической линии петли сепаратрисы, устойчивый предельный цикл на
фазовом портрете ''влипает" в петлю сепаратрисы (см. рис. 3.4.6, б).
Затем значения параметров переходят в параметрическую область 5, и
сепаратрисный цикл на фазовом портрете системы разрушается (''лопается")
(см. рис. 3.4.5, область 5).
4. Зак. 75
49
Изменения фазового портрета при пересечении значениями параметров линии Р
имеют принципиальное значение: если при значениях параметров, лежащих в
области 3, на фазовом портрете системы существует большая область
начальных условий, при которых траектории системы сколь угодно долго
оставались в конечной части плоскости, наматываясь на устойчивый
предельный цикл, то для параметров области 5 все траектории системы при
любых начальных условиях уходят на бесконечность.
События, происходящие при дальнейшем движении по параметру в том же
направлении, большого значения не имеют, поскольку соответствующие
перестройки фазового портрета не меняют основного - все траектории
системы уходят на бесконечность.
Таким образом, описание параметрического и фазовых портретов завершено.
Заметим, что хотя взаимное расположение линий N и Р a priori неизвестно,
тем не менее сам факт существования параметрической линии петли
