Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
гиперболического типа и уравнение теплопроводности - параболического
типа.
Замечание. Выше мы привели способ приведения уравнения (1) к
каноническому виду в каждой отдельной точке, где задано это уравнение. В
связи с этим возникает вопрос: нельзя ли одним и тем же преобразованием
(2) привести уравнение (1) к каноническому виду (12) в достаточно малой
окрестности каждой точки? Чтобы это приведение можно было сделать для
любого уравнения, необходимо, чтобы число условий
aks =0, кф&, к, s = 1,2, ...,п; акк=ЕкЯп> к = 2,Ъ,...,п, апФ О, где ек =
0, ± 1 не превосходило числа неизвестных функций ^, к=1,2,..п : я(и-1)
------ + п -1 < п, т.е. п < 2.
2
Как мы показали в лекции 2, это привидение для п - 2 всегда можно сделать
(для п = 1 это очевидно).
I. Введение
§2. Характеристики
29
Пусть функция со(х), х = {х1,х2,...,хп), w > 2, класса С1 такова, что на
поверхности со(х)= 0 Vo>(x)^0 и
(13)
Тогда поверхность со(х) = 0 называется характеристической поверхностью
(или характеристикой) дифференциального уравнения (1). Пусть сое C2(g) и
со - с = 0 - характеристика при а<с<Ь. Тогда, если в преобразовании (2)
ветствующей области G. Поэтому знание одного или нескольких семейств
характеристик дифференциального уравнения дает возможность привести это
уравнение к более простому виду.
Примеры характеристик.
1. Для уравнения колебаний струны
Поэтому мы имеем два семейства характеристик
х + at = с и х - at = с.
2. Характеристическое уравнение для трехмерного волнового уравнения
взять =со(х), то в силу (5), (13) коэффициент аи обратится в нуль в соот-
f(x,t)
характеристическое уравнение имеет вид
или
utt ~а2{ихх +иуу +Uzz)=f(x,y,Z,t)
30 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики записывается
так
8 со
Л
(о Э2
О СО
дх
f д \2
о со
8 у
д со
д z
= 0.
Решением последнего является функция со=cif-tQ)2 -(х-х0)2 -{у~Уо)2 -(z -
z0)2 на поверхности со = 0. Следовательно, поверхность
У - (х - xQ )2 -(у-уо)2 -(z-z0)2 -0, называемая характеристическим
конусом с вершиной в точке (х0Д0), есть характеристика волнового
уравнения.
Волновое уравнение имеет и другое семейство характеристических
поверхностей - семейство плоскостей вида
at + а\Х + а2у + a3z = с,
где а1,а2,а3 и с - любые вещественные числа, причем а\ + а2 + а3 = 1.
3. Для уравнения теплопроводности
utt - а2(иXX +иуу +uzz)= f{x,у,z,t)
имеем характеристическое уравнение вида
. 2
/Я 00)
V
дх
8 со 8 у
д со 8z
= 0.
Его характеристиками, очевидно, являются семейство плоскостей t = с.
4. Уравнение Пуассона
ихх + Uyy + uzz + f(x, y,z)= О не имеет вещественных характеристик, ибо
из характеристического уравне-
ния
^T4-T+f-]2=0
дх {By) Idzl
вытекает, что grad со = 0 на со = 0.
Задачи
I. Введение
31
Привести к каноническому виду уравнения:
1. ихх + 2uxv - 2uxz + 2иуу + 6wzz = 0.
2. 4ихх-4иху -2uyz + иу +uz =0.
3- иху ~uxz +их + иу ~uz =0-
4. ихх +2иху +2иуу +2uyz +2uyt +2uzz + 3utt =0.
П /7-1
5- ихЛ +2Ъихкхк -25>л+1 =0-
k=2 k=1
n
6- = 0-
k=1 /<*
Лекция 4. Постановка основных краевых задач для дифференциального
уравнения второго порядка
§1. Классификация краевых задач
Как было показано в лекции 1, линейное уравнение 2-го порядка
p-^-^=div(/? gradit)-qu + F(x,t} (1)
описывает процессы колебаний, уравнение
р- = div(/> gradw)-qu+F(x,t) (2)
описывает процессы диффузии, а уравнение
-div(/> grw\u} + qu = F{x) (3)
стационарные процессы.
Пусть G с R" -область, где происходит процесс и S - ее
граница. Таким образом, G- область задания уравнения (3).
Областью задания уравне-
32 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики ний (1) и
(2) будем считать цилиндр QT = G х (0,Г) высоты Г и с основанием G. Его
граница состоит из боковой поверхности S х (о, Г) и двух оснований:
нижнего G х {о} и верхнего Gxjr} (Рис. 2).
Будем предполагать, что коэффициенты р, р и q уравнений (1) - (3) не
зависят от времени t; далее, в соответствии с их физическим смыслом,
будем считать, что р(х) > 0, р(х) > 0, q(x) >0, х е G .
При этих предположениях уравнение колебаний (1) - гиперболического типа,
уравнение диффузии (2) - параболического типа и стационарное уравнение
(3) - эллиптического типа.
Далее чтобы полностью описать физический процесс, необходимо, кроме
самого уравнения, описывающего этот процесс, задать начальное состояние
этого процесса (начальные условия) и режим на границе той области, в
которой происходит процесс (граничные условия).
Различают три типа задач для дифференциальных уравнений,
а) Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов:
задаются начальные условия, область G совпадает со всем пространством R",
граничные условия отсутствуют.
I. Введение 33
б) Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные
условия на границе S, начальные условия, естественно, отсутствуют.
в) Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического
типов: задаются и начальные, и граничные условия, G ф R".
Опишем подробнее постановку каждой из перечисленных краевых задач для
