Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
"llzx + 2a12zxzy + a22zy =0- (5)
Пусть z = ф(х,у)-какое-нибудь частное решение этого уравнения. Если
положить ?, = ф(х, у), то коэффициент а,,, очевидно, будет равен нулю.
Итак, задача о выборе новых независимых переменных связана с решением
уравнения (5).
§2. Уравнения характеристик
Уравнение (5) связано со следующим обыкновенным дифференциальным
уравнением
ац^у ~ 2andxdy + a22dy = 0, (6)
20 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики которое мы
будем называть характеристическим, а его интегралы - характеристиками.
Эта связь устанавливается в следующем предложении:
Лемма. Если z = ср(х,у) - решение уравнения (5), то соотношение ф(х,у) =
С представляет собой интеграл уравнения (6). Обратно, если ф(х, у) = С -
интеграл уравнения (6), то функция z = ф(х, у) удовлетворяет уравнению
(5).
Доказательство. Пусть z = ф(х, у) удовлетворяет уравнению (5).
Соотношение ф(х, у) ~ С задает функцию У - /(*> с), для которой
dy _ фХ(х,у)\
dx ~ <ру(х,Ууу=/('Х'^'
Следовательно, у = f{x, С) удовлетворяет уравнению (6), так как
rdy_yl Kd х у
- 2а,
d у d х
( \ 2
а22 ~ а\ 1 Фх + 2",2 -
L ф>' ) 9-
л 22
= 0.
y~f(x,C)
Докажем вторую часть леммы. Пусть ф(х, у) = С - интеграл уравнения 6).
Через произвольную точку (х0, у0) проведем интегральную кривую уравнения
(6), полагая ф(х0, у0 ) = С0 и рассматривая кривую y = f(x,C0). Очевидно,
у0 ~ /(х0, С0 ). Для всех точек этой кривой имеем:
rdyy2 \dx j
о dy ,
х-аП ~Г~ + а22 -d X
( \
Фх
аи
" фг
- 1- ^22
ф>>
= о.
y=f(x,Ca)
Полагая в последнем равенстве х = х0, получим:
"1 |ф.т(*0- Уо) + 2"12ф.т(*о -Уо (хо ¦ Уо ) + "22ф^(*0 -Уо) = 0.
что и требовалось доказать.
Полагая ?, = ф(х, у), где ф(х, у)-С есть интеграл уравнения (6), мы
обращаем в нуль коэффициент при и^. Если \\i(x,y) = С - другой интеграл
уравнения (6), независимый от ф(х, у), то, полагая г| =ф(х, у), мы
обратим в нуль также и коэффициент при и,^.
I. Введение 21
Уравнение (6) распадается на два уравнения:
d у _а 12 + ~апа22 пл
7 " ' V')
ах аи
dy а]2 V"l2 а11а22 ,с,
- • (")
ах ац
Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения (1). Это уравнение
мы будем называть в точке М уравнением гиперболического типа, если в
точке М А = а\2 _ *11*22 >0' эллиптического типа, если А<0, и
параболического типа, если А = 0.
Нетрудно убедиться в правильности соотношения
а\2 ~ *11*22 = (*12 _ *1 1 <^22 > из которого следует инвариантность типа
уравнения при преобразовании переменных, так как якобиан D преобразования
переменных отличен от нуля.
§3. Канонические формы уравнения
Рассмотрим область G, во всех точках которой уравнение имеет один и тот
же тип. Разберем каждый из этих типов в отдельности.
1. Для уравнения гиперболического типа А > 0 и правые части уравнений
(7) и (8) действительны и различны. Общие интегралы их ф(х, у) = С и
\|/(х, у)= С определяют действительные семейства характеристик. Полагая
^ = ф (х,у), г) = у(х,у), (9)
приводим уравнение (4) к виду
=ф(^ЛИ,у§,уГ1), (10)
F
где Ф = -=-. Уравнение (10) называется канонической формой гипербо-2*12
лического уравнения (1). Часто пользуются другой канонической формой.
Положим
^ = х' + у', Г| = х'- у',
22 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики т.е.
2 2
где х' и у'- новые переменные. Тогда, полагая u(^,r\)=W(x',y'), будем
иметь
^=1 (Wx,+Wy) ov=±(wx,-Wy) и.,. 't(irrV 1ГУ).
В результате уравнение (10) примет вид
W^-Wyy= Ф. (Ф, -4Ф).
2. Для уравнения параболического типа А = 0 уравнения (7) и (8)
совпадают, и мы получаем один общий интеграл уравнения (6): ф(х,у) =
const. Положим в этом случае
^ = ф (х,у)иг\ = \у(х,у), где ф(х, у)-любая функция, независимая от ф.
При таком выборе переменных коэффициент
"II = "ll?* + 2"12^>. +"22^ = (л/^ТГ^х +4^22^у1 = 0 '
так как аХ2 = ^Jax, *Ja22 I отсюда следует, что
"12 = "11^хЛх + "12^хЛ.у + Лх^>>)+"22^'Л>> =
= (\/"7А + Л^22^у\^пЛх +л/"ЙЛ^)=0-Таким образом, мы получаем каноническую
форму для уравнения параболического типа
=ф(^т1'и-и?<иЛ Ф = -Т--
"22
3. Для уравнения эллиптического типа а\2 - "ц"22 < 0 и правые части
уравнений (7) и (8) комплексны. Пусть
ф (х,у)=С
- комплексный интеграл уравнения (7). Тогда
Ф *(х,у)=С,
I. Введение 23
где ф* -сопряженная к ф функция, будет представлять собой общий интеграл
сопряженного уравнения (8). При этом уравнение эллиптического типа (1)
приводится к (10) при замене переменных
^ = ф (х,у), г| = ф
Чтобы не иметь дела с комплексными переменными, введем новые переменные
х' и у', равные
Х' = Ф±? - = iV
2 2 i
так, что
^ = x' + iy', r\ = x'-iy'.
В этом случае, полагая u(^,r|)= W(x',y'), будем иметь
=\(Wx' ~iWy')' =\{wx'+iWy,) = ^{wxV + Wyy).
Следовательно, уравнение (l О) принимает вид
+ Wyy =4'(х'.у', w, Wx,, Wy ), Ч' = 4(1..
В заключение рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. ихх - yuvv = 0.
Здесь ап =1, а12 = 0, а22 = -у, А = а^2 - апа22 = у. Следовательно, в
области у > 0 уравнение гиперболично, в области у < 0 - эллиптично.
