Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
один из множителей подынтегральной функции Рп (х) выразим через Рп_х (х)
и Рп_2 (х) по формуле (6), заменив в ней п на п - 1. Получим
IIр ||2 = Гр
II п II J п -1
2я-1 п-1
х rn-1 п-2
2 П - 1 'г "
chc J ж*?} п-1 х'
п п
Мы здесь воспользовались ортогональностью многочленов Рп и Рп_2. Далее в
последнем интеграле произведение хРп заменим по формуле (6) через Рп+1 и
Рп_х будем иметь
IIР ||2 =-"! '
Г и +1 " п 1 2и-11г2/'\,
\РП-п Р"+1 + РП-1 \dx= [Pn_1(x)dx
[2п + \ 2п + \ J 2я +1 _|
из (9) получаем, что
W2=^-^-i|2. " = (9)
2и + 1
и 2 1 N",,2 2
IIPJ- = ILPo =-
2 и + 1 " 2и + 1
VI. Специальные функции 241
Теорема о разложимости
В этом пункте мы приведем без доказательства теорему о разложимости
функции в ряд Фурье по многочленам Лежандра:
Теорема 1. Пусть функция ф(х) кусочно-непрерывна вместе с производной
первого порядка -^ на интервале [-1,1]. Тогда в каждой точке непре-dx
рывности ф(х) ее ряд Фурье по многочленам Лежандра сходится к этой
функции.
§ 2. Потенциал полой сферы
Применим введенные выше многочлены Лежандра для вычисления потенциала
внутри полой сферы радиуса R, составленной из двух полусфер,
изолированных друг от друга тонкой прокладкой и заряженных до потенциа-
лов О; и о2 •
Математическая постановка этой задачи: требуется найти решение и (г, 0)
уравнения
Аи = 0, 0 <r<R, (10)
удовлетворяющее краевым условиям:
;(О,0)| <оо, и (Л,0) =
о,, 0 < 0 < -,
Г ?
и,, - <0<д.
2 2
(11)
Так как потенциал и (г, 0, ф) = и (г, 0) не зависит от ф, то уравнение
Лапласа
(10), записанное в сферических координатах, для него будет иметь вид
д ( 2 д иЛ 1 д ( . "ди)
- г ------- +-------sm0- =0 (12)
дг) sinOSG^ дв)
Сначала найдем решения уравнения (12) вида
и = /(г)ф),у
242 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
удовлетворяющее только условию ограниченности. Разделяя, переменные
получим
Hr2f'(r)) "sineie^^b0) , f(r) - Ф(0)
Следовательно,
K'-vw) ¦-1 m- о. ~0+"-ф - о.
В последнем уравнении произведем замену переменной ?, = cos 0.
Получим уравнение
(1-^-2Л".ф = 0,
v 'dt,2 (К,
которое при X - п (п +1) имеет ограниченное на [- 1,1 ] решение в виде
многочлена Лежандра /'"(Д. При таких значениях X уравнение для /(г) имеет
ограниченное решение вида
/(г)=г\
Теперь решение исходной задачи (10), (11) ищем в виде, согласно теоремы 1
со
u(r,Q)=XC"rnP"( cos0). (13)
"=0
Коэффициенты Сп определим из второго краевого условия (11), пользуясь
свойством ортогональности многочленов Лежандра:
?и+171 ?и+1 Г 0 0 1
сй = --\и (^,0)/>"(cos0)sin0 Й?0 = --]и2 |Вя(4)й?4+и, \pn(t) di\.
^ О I I -I -1 J
Последние интегралы вычисляем, пользуясь формулами (6) и (7). Получим
С,=С-о,Х2', + 1)/,и|(0) (]4)
2 п
Итак, решение задачи (10, (11) вычисляется по формулам (13) и (14).
VI. Специальные функции 243
Задачи
1. Найти функцию и, гармоническую внутри шара радиуса R с центром в
начале координат и такую, что
U\ r=R = /(б)>
где
а) /(0) = cos0;
б) /(0) = cos20;
в) /(0) = cos20;
2. Найти функцию, гармоническую внутри шара радиуса R и такую, что:
(и + = 1 + cos2 0.
3. Найти функцию, гармоническую вне шара радиуса R и такую, что:
а) иг |г=д =sin20;
б) (и-иг)|г=д = sin20;
в) ur\r=R = ^cos0.
4. Найти гармоническую внутри шарового слоя 1 < г < 2 функцию такую, что
MUl = /i(0)' Н r=2 ~ f2 (0) '
если:
а) fx = cos2 0; f2 = ^(cos2 0+l);
б)/j = cos20; /2=4cos20-y;
в) f = 2 cos 0; /2=1 + cos 2 0.
5. Найти стационарную температуру внутренних точек полусферы радиуса R,
если сферическая поверхность поддерживается при постоянной температуре
TQ, а основание полусферы - при нулевой температуре.
244 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Лекция 32. Сферические функции. Задача Дирихле для шара
Сферические функции проще всего могут быть введены при решении уравнения
Лапласа для шаровой области методом разделения переменных.
§1. Определение сферических функций
Будем искать решения уравнения Лапласа, записанного в сферических
переменных г,0,ф
А 1 9
А и = -s------------
г~ 9 г
9 2ди'\ 1 д ( . д и\ 1 д2и
Г ------------------- Sin0-----+-;----------------;-у = 0 (1)
дг) г sin 09 0^ 5 0 J г sin "09 qr
вида
и(г, в, ф) = F(r)Y{Q, ф).
Тогда для определения F(r) получаем уравнение Эйлера
-^(rV(r))-XF(r) = 0, (2)
dr
а для определения функции т(0, ф) - уравнение
1 д I ¦ 05У 1 1 9 Y А V А
sm 0-------+ у- + XY = 0. (3)
sin 09 0^ 9 0j sin 09 ф
Определение. Ограниченные в области 0 < 0 < я, 0 < ф < 2 я решения
уравнения (3), такие что
Т(0,ф + 2д)=Т(0,ф), называются сферическими функциями.
Если ограниченные решения уравнения (3) искать в классе функций вида 7(0,
ф) = ?(0) Ф(Ф), Ф(Ф + 2 я) = Ф(Ф),
то для функций Л'(0) и Ф(ф) получим уравнения
-1----(vF'(0)sin0) + fA.--1Vl'i'(0) = O, (4)
sin QdQ V { sin 0 J У '
ф"(ф)+рф(ф) = 0. (5)
VI. Специальные функции 245
Из условия периодичности функции Ф(ф) находим \х = к2 (где к- целое
число). Поэтому
ф(ф) = Acoskty + Bsinkq>.
В уравнении (4) произведем замену переменной
COS0 =
