Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
Далее, используя правило Лопиталя при целом положительном п, из (7)
получаем, что функция Бесселя второго рода представляется в виде
у () 2 т ()' х 1 п^{п-к-\)(х'' п+2к
Yv{x) = -Jv(x)ln-----------X- ~г. -
п 2 п k=o к! V 2
1 " (-if Г Г'(Лг + 1) Т'{п + к + l)Y Xs п+2к
пк=0к!(к + \)
(8)
§ 2. Полное разделение переменных в уравнении колебаний круглой мембраны
Рассмотрим волновое уравнение на плоскости:
д~и 2
-Y = a
dt2
^ л2 )
О U О It
дх2 ду2
VI. Специальные функции 231
При изучении круглой колебаний мембраны полезно перейти к полярным
координатам х = г cos ф, у = г sin ф. Тогда волновое уравнение запишется
в виде
1 Га 1 а
а2 dt2 г дг
ди
1 д~ и
(9)
Будем искать решение этого уравнения при заданных начальных дан-
и(г,ф,0) = м0(г,ф), 8Тф,0) = М1(г,ф)
dt
(10)
и граничном условии
и(1, фд)=0 (11)
(закрепленная по краям мембрана радиуса 1).
Согласно методу Фурье частные решения уравнения (9) ищем в следующей
форме
м(г,фд)= о(г,ф)г(?).
Подставляя эту функцию в уравнение (9), мы получим уравнение для T(t)
T"(t)+ a2\T(t)= 0,
т.е.
T{t) = c{cos^a2X t + c2 sint, и следующую задачу на собственные значения
для функции и(г,ф):
12L
г дг
о о
or
1 a2u
г2 9ф2
+ ^о = 0, 0<г<1,
(12)
и(1,ф)=0. (13)
Мы налагаем на функцию и(г, ф) условие ограниченности в точке г = 0 и
условие периодичности с периодом 2я по переменной ф.
Далее положим
о(г,ф)= 7?(г)ф(ф).
232 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Тогда из уравнения (12) получаем
d ( dR
г г -
dry dr
R
Ф" 9
- - + Xr2 =0. Ф
Отсюда согласно (13) и наложенных ограничений на функцию г(г,ф) прихо-дим
к уравнениям
Ф" + р2Ф = 0, ф(ф)=ф(ф + 2я),
( л-
"2
1 d ( dR г dr{ dr
R = o, tf(l)=0, Що)|<оо.
/
Нетривиальные периодические решения для ф(ф) существуют лишь при р2 =п2
(п- целое число) и имеют вид
Ф"(ф) = Аисозиф + Вп sin п ф.
Для определения функции R(r) мы имеем задачу
d2R 1 dR
f
d i
Вводя новую переменную
и обозначая
V
Г
2 Л
R = 0, 0 < г < 1,
/
д(1)=о, Що)|<оо.
: = 4Хг
получим для определения функции у(х) уравнение Бесселя (1) и-го порядка
(v = п)
d'y 1 dy dx2 xdx
'"A
>¦ = 0
с дополнительными граничными условиями
у(х0)=0, х0=4х,
|До)|<°с.
(14)
(15)
VI. Специальные функции 233
Общее решение уравнения (14) имеет вид (см. §1)
y(x) = cxJn(x)+c2Yn(x).
Из второго условия (15) согласно формуле (8) имеем с2- 0, а первое
условие дает:
Jn (\/Т)= 0 или Jп (ц) = 0 (ц = л/т).
Это трансцендентное уравнение имеет бесконечное множество вещественных
корней р" , т = 0,1,2,.... Таким образом, мы имеем последовательность
собственных значений
К,т-(^)2. т ~ 0Д,2,...,
которым принадлежат собственные функции
кп,м(г) = у{л1Хп,м 7=J"(bL"4 (16)
Таким образом, для собственного значения Хпт задачи (13) имеем две
собственные функции
coswp , ипт
Теперь решение исходной задачи о колебаниях мембраны (9)-(11) согласно
методу Фурье можно представить так:
и(г,Фэ)= ? ? u"jm(r,v)(A"mcos|T(";,W + B,;jmsin|T*f;W) +
п=о m-о \ (17)
+ Z X ип т(г,ф)(Сп т cos р(;]at + Dn m sinp
n=Q tn= 0 ' '
Можно показать, что собственные функции (16), принадлежащие различным
собственным значениям, ортогональны с весом г :
\rJn^r\n^tlr)dr = Q- (18)
о
Норма этих функций равна
\rji ^(ir)dr=¦ (i9)
0 z
234 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Коэффициенты Ап т, Вя ш, Сп т и Dn m ряда (17) определяются из началь-
ных условий (10)
^о(сф)- XX (
777,77 = 0
со со
U\{r,ф)= Е Е(в",ии",и +?)"mMBm)apW
77=0 77=777
Теперь, используя соотношения (18), (19) из (20), находим, что
2 п 1 , .- ч
2} |м0(г,ф) Jn^X"mr)cosnq>rdr dц>
А""' ХЩЩ1 •
С = 00
77,777
2л 1 / ._ v
2 J К(оф) J"[^Xnmr)smnyrd г d ф
л е"[л(7чД)]
В =-0Л
п,т
2 п 1 . - v
2 J |м|(г,ф)уДЛ/Х"",г]со8Иф rd г d ф
а 71
Л
D =-0-0
77 , 777
77^^^77,777 ^
СП I у ._ .
2 { Jzv,(r, ip)JnUXnmrsinncp rd г d ip
t\ t\ * '
71 dn^Xn m jj
(20)
(21)
Здесь в =
2 при и = 0,
[1 при п = 1.
Таким образом, решение задачи (9) - (11) вычисляется по формулам (17),
(21).
Задачи
1. Решить задачу о свободных колебаниях однородной круглой мембраны
радиуса R, закрепленной по краю, в следующих случаях:
VI. Специальные функции 235
а) начальное отклонение определяется равенством и|(_0 = j, где
р4 -положительный корень уравнения J0(p)=0; начальная скорость равна
нулю;
б) начальное отклонение и начальная скорость зависят только от г :
MLo=/(r)' ut\t=^F(r):
в) начальное отклонение имеет форму параболоида вращения, а начальная
скорость равна нулю.
2. Найти решение смешанной задачи
utt = 11 хх +-"* + /(*)Л)(и*4
X
где р к - положительный корень уравнения J0 (р) = 0, 0 < х < 1,
"|,=1 = Н,=0 = utLo = °. К=оI <00* если
а) f(t)=t2+1;
б) f(t) = sin / + cos/.
3. Дан неограниченный круговой цилиндр радиуса R. Найти распределение
температуры внутри цилиндра в момент времени /, если :
а) на поверхности цилиндра поддерживается все время нулевая температура,
а температура внутри цилиндра в начальный момент равна
u\t_Q = AJ0j, где p,t -положительный корень уравнения У0(р)=0;
