Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
когда точка M(x,y,z) стремится к бесконечности единственно.
Доказательство. Для любого ? > 0 имеем оценку
I и(х,y,z)\ <г, если д/х2 +у2 +z2 >R(e) (5)
-> со, прие -> О). Далее пусть их и и2 -два решения задачи Неймана. Тогда
функция и = их -и2 удовлетворяет условию:
д и
Л и = 0 при z > 0, = 0 при z = 0 .
dz
Определим для отрицательных z функцию и с помощью формулы и(х, y,z)~ и(х,
y,-z).
Докажем, что функция и будет гармонической всюду, включая плоскость z =
0.
Рассмотрим производную
ди
= w
dz
Это будет функция, гармоническая в верхнем и в нижнем полупространстве,
удовлетворяющая условиям
w(x, у, z) = -w(x, y,-z), w(x, у, О) = 0,
и, следовательно, как мы только что доказали, гармоническая во всем
пространстве.
При этом функция
Z + 1
со(х, у, z) = fw(x, у, <;) d <; = и(х, у, z + l) - и(х, у, z)
170 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики также будет
гармонической во всем пространстве. Это легко проверить непосредственным
дифференцированием.
Отсюда следует, что функция и(х, у, z) - также гармоническая во всем
пространстве. В самом деле, она могла бы не быть гармонической только на
плоскости z = 0. Но
о (x,y,z)= и (x,y,z + l)+ со (x,y,z). (6)
Правая часть (6) гармонична на этой плоскости, следовательно, гармонична
и левая.
Ввиду ограниченности и во всем пространстве по теореме Лиувилля имеем
и = const.
Следовательно, решение задачи Неймана единственно с точностью до
постоянного слагаемого в классе ограниченных решений.
При выполнении условия (5), очевидно, что и = 0.
Теорема доказана.
§2. Построение решений задач Дирихле и Неймана
Предположим, что рассматриваемая нами гармоническая функция удовлетворяет
условиям
Ах, v,z)| <-------,
Ra
д и{х, y,z) А д и(х, у, z) А
дх RUa ' ду R\+a
д и(х, у, z)
dz
(7)
<-
R
1+а
где R = л]х2 + у2 + z2, а > 0, а А - постоянная.
После того как явное решение задач будет нами получено, надобность в этом
предположении отпадет.
IV. Теория потенциала 171
Применим к функции и интегральную формулу Грина, выбрав за объем Q
полушар с центром в начале координат
R < В, z > 0.
Так как Аи = 0, то
Ач.уо.ч)=^-\\
4 л '
10м 0 0 1
г дп дп\г
d s,
(8)
где г = д/(х-х0)2 + (у - у о )2 +(z-zQf .
Поверхность S состоит из куска ^ плоскости z - 0 и из поверхности S2
полусферы R = В, поэтому формулу (8) можно переписать так
и(хО'Уо>2о)-~Г~ JJ
471 с
1 ди д (1
и- -
г дп дп I г
4л
10H 001
------и- -
г дп дп\г
(9)
Оценим второй интеграл правой части (9). Имеем в силу (7)
Wu-z-{-\as
s2 дпУг
----- \§u\ds<
(я-*оп! 1
InAB1
(в ~Rq )2 ва
СB-Rof
Я
ди
дп
ls<-
2л АВ1
1+а
(b-r0)b
где R0 - д/хц + Уд + Zq . Таким образом
lim Я
В-жх
10Ц 0 01
--------и--- -
г д п 0 п\г
d s = 0.
Поэтому
172 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Рассмотрим вместе с М0 (х0, у0, z0 ) еще точку Мх (х0, у0 ,-zQ ), и пусть
г, = д/(х - х() У +{у - Jo У + (z + z() У . В верхней полуплоскости - -
гармо-
ническая функция, так же как и и. Поэтому
щ
Q
- Л и - и Л -
dQ. = О
'1 VI.
и, следовательно, согласно второй формуле Грина имеем
Я
1 ди д ( 1 гх дп дп\гх
ds=\\
I ди д { 1
--------------и------- -
гх дп д п у гх
Я
1 ди dll
--------и---- -
гх дп дпу^г|
1 s =¦ 0.
Переходя к пределу, когда В стремится к бесконечности, и пользуясь теми
же оценками, что и при выводе формулы (10), получим
Я
z-0
1 ди д
Г[ дп дп
VI
!s = 0.
Заметим теперь, что не плоскости z = 0 имеют место равенства
гх = г,
д
оп \ г.
= -- I - I (радиус-векторы гх и г симметричны относи-дп\г,
тельно плоскости z = 0), откуда
471 z=0
1 ди д ( Г,
------и- - | ds = 0.
гдп дп\г,
Складывая (10) и (11), получаем
Я*о>Р(п2о)=7- Я ~^r-ds=^~ Я -fi(M)ds-
2 к z=0 г д п ° -
2 л z"0 г
(12)
Вычитывая (11) из (6), будем иметь
IV. Теория потенциала 173
О о
Формулы (12) и (13) перепишем, учитывая, что - = , следующим
дп д z
образом
( 1 77 f2{x,y)dxdy
АхО'Уо>го)- J J г - -------------------- -
°°-°°V(*_*o) + (у-у0) + :
(12')
f 1 +r+r z0 f\{x,y)dxdy
4Wo>zo)=-- J Ь --------------------=/• (13)
; р-^о)2 + (у ~ УоУ +zoi2
2 ^ -оэ -сс I
Можно показать, что если (х, у) и /2 (х, у) - непрерывные функции,
удовлетворяющие неравенствам
\fl(x,y)\<A, |/2(х,у)|< А
1+а '
р
где р = V х2 + у2, а>0, а А- постоянная, то формулы (12') и (13') дают
решения задач Неймана и Дирихле, при этом интеграл (13') представляет
собой ограниченную функцию, а интеграл (12') функцию w(x0,y0,z0),
обращаются в нуль на бесконечности.
Лекция 23. Свойства потенциалов объема, простого и двойного слоя
Чтобы рассмотреть задачи Дирихле и Неймана кроме шара и полупространства
еще и для областей, мы должны рассмотреть в отдельности интегралы
Л - . h --l\hV)j^)ds • h -
которые встречались нам уже неоднократно. Как мы упоминали раньше,
интеграл /; называется потенциалом объема, а функция р(м) - его плотно-
174 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики стью;
интеграл 12 называется потенциалом второго слоя, a fx (м) - его
