Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
нуль, следовательно, интеграл (13) стремится к нулю, если М0 стремится к
точке границы.
Пусть точка Д7() лежит внутри шара; запишем интеграл (13) в виде
' (Мо)= "7" г + 7" ЯГР¦
4я п г 4л Д
Первое слагаемое есть ньютонов потенциал и, следовательно, применение к
нему оператора Лапласа дает р. Второе слагаемое есть гармоническая
функция, так как
^ЛГмг'а
(Мы обозначим здесь оператор Лапласа Д0, чтобы подчеркнуть, что
производные берутся по аргументам x0,y0,z0.) Следовательно, формула (13)
дает нужное нам решение уравнения Пуассона.
Второе слагаемое, стоящее в правой части (12), обозначим так:
V (14)
4я 5 дп{у ргх)
Таким образом, если решение внутренней задачи Дирихле для уравнения
Лапласа в шаре существует и если оно непрерывно в замкнутом шаре вместе
IV. Теория потенциала 165
с первыми производными, то это решение представимо по формуле (14). Эта
формула носит название формулы Пуассона.
Преобразуем формулу (14). Имеем
-ф =_Ц_|сов
д n\r ; д х \г
{Л ^ п,х +У( '0 - cos f л ^ п,у {Л + z - cos (А) n,z
V ) д jA J) V ) [г) У У
-cos
Г
п,х
V У
У~Уо
COS
п,у
V У
-cos
л
n,z
V J
( л ^ (л ^ ( л ^ (л ^ ( л ^ ГдЛ
cos г-г0,х COS п,х + COS г-г0,у COS п,х + COS г-г0,х
COS w,z
V ) У ) У ) У ) У ) V у
Аналогично
= ^-COS
г
А
7-г0,п
а Г0 1 ( А1
- = TCOS г -г,п
дп UJ а У У
Таким образом
д \ Rl) I R~
--------------= -^cos а + -^-cos р на S.
дпуг s г{) г р гх
(14)
Здесь а - угол между векторами г-г0ии,а(3 - между г - г, и п (рис. 2).
Рис. 2
166 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики Из
треугольников ОММ0 , ОММх имеем
р2 = R2 + г2 - 2R г cos а, р2 = R2 + rj2 - 2R rx cos P.
Определяя отсюда cos а и cosp и подставляя их в (14), получим
д_ дп ч
или, в силу (9), (10),
1 _ R
г рГ|
р R -г R + г - Pi
2Rr~
д_
дп
1 R
г р г,
Р2-^2 Rr3
2рг/
на 51.
Подставляя в формулу (14), окончательно получим
"2 Ю=A j№)fc2:p2L.
(15)
Можно доказать, что если функция /(ЛТ) непрерывна, то формула (15) дает
решение внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре.
Например гармоничность функции м2(М0) следует из того, что при р < R
имеем
А R2 А R2+г2 - р2 Ао -= Ао-------
si 1
- A- = -2RA-^- = -2R - Д- = 0 (MeS). г 2 п дп г
Задачи
1. Построить функцию Грина для следующих областей в R3:
а) полупространства z > 0;
б) двугранного угола у > 0, z > 0;
в) октанта х>0, y>0,z>0.
2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3:
а) полушара х2 + у2 + z2 < R2 , z> 0;
IV. Теория потенциала 167
б) четверти шара х2 + у2 + z2 <R2 , у > О, z > 0.
3. Найти решение задачи Дирихле
Au = -f(x,y,z), z > 0; m|z=q =uQ(x,y), для следующих / ив,:
а) / = 0, M0 = cosxcosy;
б) / = e-zsin х cos у, и0 = 0.
4. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа для полушара х2 + у2 + Z2
< R2 , Z > 0.
Лекция 22. Задачи Дирихле и Неймана для полупространства
Мы встречались уже с постановкой двух основных задач теории уравнения
Лапласа, а именно, с задачами Дирихле и Неймана.
Напомним, что задача Дирихле для уравнения Лапласа состоит в определении
функции и в области Q с границей S, удовлетворяющей уравнению Аи=0, м(х,
у, z)eQ, (1)
и граничным условиям
u\s=fx{M). (2)
Задача Неймана состоит в отыскании решения уравнения (1),
удовлетворяющего условию
^U=/2(M). (3)
дп
§1. Теорема единственности решений задач Дирихле и Неймана
Пусть Q-полупространство z>0; поверхность S является тогда плоскостью
оху.
168 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Теорема 1. Решение м(м) задачи Дирихле (1), (2) единственно в классе
огра-
ниченных функций.
Доказательство. Пусть задача (1), (2) имеет два решения щ и и2. Тогда
разность и = их -и2 будет гармонической функцией, обращающейся в нуль при
z = 0. Определим и для отрицательных значений z нечетным образом:
о(х, у, z) = -и(х, y,-z).
Докажем, что эта функция будет теперь гармонической во всем пространстве,
включая и плоскость z = 0.
Построим сферу а произвольного радиуса с центром на плоскости z = 0 и
определим функцию , гармоническую внутри шара, ограниченного этой сферой,
и принимающую на поверхности значения
и1(м)=и(м), Меа. (4)
Легко видеть, что iy будет равна нулю при z = 0. В самом деле, функция
Щ (х, = и, (х, у, z) + и, (х, y-z)]
будет гармонической и примет на сфере а значения нуль, следовательно, wl
(х, у,О) = 0. Но
Wj (х, у, О) = iy (х, у,О).
Плоскость z = 0 рассечет наш шар на два полушара. Функция iy на границе
каждого из них совпадает с и; на поверхности а это следует из (4), a на
части плоскости z = 0 обе эти функции равны нулю. Следовательно, u = iy,
и, значит, функция и имеет все производные всюду внутри шара и гармонична
в нем. Так как положение центра шара произвольно, то и будет
гармонической во всем пространстве. Теперь согласно теоремы Лиувилля
IV. Теория потенциала 169
она тождественно равна некоторой постоянной. Эта постоянная может быть
только нулем, так как и = 0 при z = 0.
Теорема 2. Решение м(м) задачи Неймана (1), (3) стремя1цееся к нулю,
