Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
JX(x)exp(\{b dх-а dу)) dх j .
и = exi
и = ехр(-{(б dx+a dy))(x(x) + 7(y)).
(13)
70 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Аналогично, если к ф 0, то, пользуясь (12), получаем
^ + *U(A
дх J к 1ду
0 = | --I- b \ - | 1- a |m_j - м_[ =
1 д2и_ 1 | дкл ди , ди , + а L + 'Sa + дк) '
\а - к U j
к дхду К к О х j д у дх vdx К к дх) J
Будем обозначать результат х- и у-преобразования Лапласа соответственно
через Е1 и Е_ 1, и записывать в более компактном виде:
о я, / \diti / \dii] / \
-- + а, (х, у)- + 6, (х, у)- + с, (х, у)щ = 0, ( ?,)
52W_. / ч5г/_1 , / / ч
-- + а_, (х, у)-- + 6_, (А у)-- + С_, (х, у)и_, = 0, ( Е_х)
охоу ох Оу
где
д , , , , дй
= а ий, ох~о, с1=а1о1Н я,
ду ду
(14)
, , д оя
= а, =-----b----/я /с, с_[ = Н--------к.
дх дх
Используя (14), нетрудно найти инварианты Лапласа для уравнений Е1
и Е_х:
д2
к =2 h-k----------Inh, h,=k,
д*д> , (15)
k,=h, к .= 2 k - h In к.
1 дхду
Из формул (15) следует, что если к уравнению ?) применить у -
преобразование Лапласа, то результат будет иметь исходные инварианты
Лапласа h и к. Но выше было доказано, что если два уравнения вида (4)
имеют одинаковые инварианты, то они связаны заменой вида (5). Следующая
выкладка
/ ч ( д , Л д2и ди да (ди Л
Ы-1 = Ь^ + л1 Ь =^г^г + а^г + и~ + ь\ ^г + аи =
(dx J дхду дх ох (ду J
(да 'I
= у ab - с \и - пи
V5x J
показывает, что коэффициент пропорциональности в (5) совпадает ей-1.
II. Гиперболические уравнения
71
Аналогично проверяется, что в результате применения к Е_х х-
преобразования получается уравнение, связанное с исходным уравнением Е0
заменой (5) с Х~к-1.
Важно отметить, что ввиду (13), если нам удалось тем или иным способом
проинтегрировать уравнение Е1, то мы решим и исходное уравнение Е0.
Аналогичным образом уравнение Е0 связано и с Е_,. А именно, переписывая
второе из соотношений (12) в виде
мы получаем формулу для решений Е0, если нам известны решения Е_,.
Выше было показано, что применение к ?) у-преобразования, фактически,
приводит к исходному уравнению Е0. Однако, если Ф 0, то применяя к Ех х-
преобразование Лапласа, мы приходим к некоторому новому уравнению Е2.
Аналогично, с помощью у-преобразования мы, исходя из Е_х строим уравнение
Е_2 и т.д. Таким образом, мы имеем целую двустороннюю последовательность
уравнений
не обрывающуюся с той или другой стороны, до тех пор пока, возможно, не
встретится уравнение, один из инвариантов которого тождественно равен
нулю. Эти уравнения находятся в такой взаимной связи, что,
проинтегрировав любое из них, мы проинтегрируем и все другие. В
частности, если цепочка (17) обрывается хотя бы в одну сторону, то для
крайнего из уравнений цепочки один из инвариантов Лапласа равен нулю.
Согласно результатам, полученным выше, это уравнение интегрируется в
квадратурах, а затем с помощью формул типа (13), (16) находятся решения
всех остальных уравнений цепочки (17) и, в частности, исходного уравнения
Е0. Этот способ интегрирования уравнений вида (4) называется каскадным
методом Лапласа.
(16)
(17)
72 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Часто построение последовательности (17) оказывается полезным при
исследовании уравнения Е0 даже в случае, когда она оказывается
бесконечной в обе стороны. При этом, как правило, можно обойтись без
явного нахождения коэффициентов уравнений Et и ограничиться изучением
последовательности инвариантов, соответствующих уравнениям (17). Выше
было показано (см. формулу (15)), что ki+l =hi. Поэтому достаточно
рассматривать только последовательность
... ,h_з, h_2, /г j, h = h0, hlt h2, h2, ... .
Из формул (15) следует, что ее элементы можно вычислить с помощью
рекуррентной формулы
A,+1=2A,1пй" ieZ, дхду
исходя из "начальных значений"
/г j = к, /г0 = h.
Задачи
1. Найдите инварианты уравнения (Еп), если исходное уравнение имеет вид
а Р у "
иху +7 \их +7 \иу +7-----------
(х + у) (х + у) (х + у)2
где а, р, у - постоянные.
2. Покажите, что если уравнения (/70) и (к) ) имеют одни и те же
инварианты, то каждое из них заменой переменных приводится к виду и =и.
3. Покажите, что если инварианты уравнения (/У ) совпадают с инвариантами
исходного уравнения (Е0), то
Я2
-' In (h-k) = О
дхду v '
11. Гиперболические уравнения 7 3
и после соответствующей замены независимых переменных х<->/(х), уОф(у)
величины кик являются решениями уравнения
д2 со
= sm со.
дхду
4. Покажите, что если для некоторого уравнения к2 - к, то существует
замена переменных вида х<л f(x), у g{y), в результате которой получается
уравнение с к2 = к .
5. Уравнение
д2и д2и , \ды , ч0и , ч
- Н - + Л [х,у)---------1-1 тух,у)---i- n[x,y)u = v
дх ду- дх ду
подвергается замене и = Х(х,у)и. Докажите, что величины
0/ dm д1 дт 2 2
J------------, К = - +-----+ г + т -п
ду дх дх ду
есть инварианты этого преобразования.
Лекция 9. Уравнения, интегрируемые каскадным методом Лапласа
§1. Каскад Лапласа
Как было показано на предыдущей лекции, х- преобразование Лапласа
