Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим природу решения и сопряженного уравнения (3), удовлетворяющего
условиям (11). Это решение является функцией двух пар переменных: текущих
координат х,у и фиксированных координат х0,у0 точки М. Поэтому, если
ввести обозначение
и = о(х,у;х0,у0), то условия (11) могут быть переписаны таким образом:
д о (х, у0; хп,уп) / ч / ч
1) ---^1 = b(х,у0 Jo(х,у0;х0,у0) на характеристике QM;
д х
du(xQ,y;Хг,,уЛ I \ i \
2) ----------- = а (х0 ,у)и (х0, у; х0, у0 ) на
характеристике МР;
ду
3) ufo.JVWob1-
II. Гиперболические уравнения 61
Отсюда путем интегрирования получаем
1а (*0,*)^
u{x,yo;xQ,y())=exa , и (х0,у;х0,у0)=еУО . (13)
Решение о(х,у;х0,у0) сопряженного уравнения (3), удовлетворяющее условиям
(13), называется функцией Римана. Эта функция не зависит ни от данных
Коши (2) на кривой АВ, ни от вида этой кривой.
Изложенный здесь метод Римана приводит решение задачи Коши к построению
функции Римана и(х,у;х0,у0). Можно доказать существование и
единственность функции Римана.
Сделанное выше предположение о том, что прямые, параллельные осям, т.е.
характеристики, пересекают линию АВ не более чем в одной точке, является
существенным. При невыполнении этого условия задача Коши (1), (2), вообще
говоря, неразрешима.
§ 2. Пример
Решим, с использованием метода Римана, следующую задачу: найти функцию и
(х, у) такую, что
2 д2и 2 д2и дх ду
И v=i =/(4 7r-|x=i=F(x)- (15)
'¦ ду'
Уравнение (14) является гиперболическим при х у ф- 0, так как
А = х2у2 >0.
Согласно общей теории (см. Лекцию № 2) составляем уравнение характеристик
x2dy2 - y2d х2 =0
или
xdу + у dх = 0, xdу - у dх = 0.
62 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Интегрируя эти уравнения, получим
г У г ху = С|, - = С2.
х
Следовательно, нужно ввести новые переменные ?, и г| по формулам
У
Тогда
д2 и
¦ = у
2 д2и
дъ,
$ = ху, т]=-.
X
^у2 д2и + у2 д2и У
(16)
2 х2 д^дг\ х4 дг\2 х3 9т|
д2и
= х2 --г + 2-
д2 и
1 д2 и ~2~'
3yz х2 дг\
Подставляя значения вторых производных в уравнение (14), мы приведем его
к каноническому виду
д2и
-L.i^Uo,
(17)
о^0г| 2?, 0г|
Прямая у = 1 в новых переменных будет иметь вид равнобочной гиперболы
(рис. 2)
^ = 1. (18)
?
Далее из соотношений
= J-, у = ясно, что
ди I
1 ди 1 <5 г
ди I ty д и ^ д и I
op1 2 о х 2 оу 1
Рис. 2
Следовательно, в силу условий (15) имеем
П. Гиперболические уравнения
63
_ I Ет1=1 _ /0=)
(20)
Полагая в формуле Римана (12) а = О, Ъ , f - 0,
получим
2<^
(г ч (мо)р+(ми)е I ( ди QV ии\
"ио.Ло)= ~ + ~ 1 \ u--'u---\d?z-
2 2 Qpy дЕ, оЕ, Е, J
( ди 0гЛ ,
- и- -и- \dr\.
I д т| дг\1
(21)
Далее функция Римана о(^,ту^о-Ло) удовлетворяет сопряженному уравнению
0 о 1 0о _
• - и
0?0Т| 22; 0 Т|
и следующим условиям на характеристиках:
Легко убедиться, что функция
удовлетворяет уравнению (22) и условиям (23). Подставляя (19), (20) и
(24) в формулу (21), получим
/ ($ о) + /1 -] + ¦^ 1 "Г'd'$ ~^ I ?f^'d'5
110 ^ 2 \ |
3
(22)
ofeilo^o.Po) = -^" на MQ' ufeo-P^oPo)=1 на мр¦ (23)
(24)
Возвращаясь к старым переменным х и у, получим решение задачи (14),
64 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики Задачи
Решить методом Римана следующие задачи:
1 • иху + 2 +иу + 2 и = 1, 0 < х, у < 1; и\х+у=]=х, их\х+у=] = х.
2. хуиху + хих - уиу -и = 2 у, 0 < х,у < "V и| xv=] = 1 - у, иу | xv=]
= х -1.
3- иху +">-)=2' 0<Х,у<СО; m|v=x=X2, M.v | >'=х = 1 + X .
2 2 ill I
4. ихх-и + -их и = 0, х - у < 1, х + у - 2 < 1;
х у
и | У=1 - мо(х)< мт|х=1 = м1 (4 мое^2(0>2). гдеС^ОД).
5. 2 их -е~хи . = 4х, -со<х,у<+со; м I ,=с=хэ cos х,
Лекция 8. Метод каскадного интегрирования Лапласа
Цель настоящей лекции - изложить результаты Лапласа, касающиеся
интегрирования линейных гиперболических уравнений второго порядка с
переменными коэффициентами
д " + а(х,у+ Ь(х,у+ с(х,у)и = /(х,у). (1)
охо у ох о у
Для уравнения канонического вида (1) характеристиками, очевидно, служат
прямые, параллельные координатным осям. Легко видеть, что из всех
преобразований
% = П = г[(х,у)
такие прямые в себя переводят только преобразования вида
Ф = ф(4 V = v(4- (2)
II. Гиперболические уравнения 65
Такие преобразования сохраняют класс уравнений (1) и могут быть
исполь-
зованы для дальнейшего упрощения уравнения, приведенного к канонической
форме. Уравнение (1) в результате преобразования (2) переходит в
уравнение
д " + а, (ф, у+ 6, (ф, у)-^- + с, (ф, \|/)ы - /, (ф, у),
<?фа\|/ с?ф д\у
коэффициенты которого имеют вид
а и b с f f /-,4
"1 = -' ~ 77' с1=7ГУ- ^=ТГ~г О)
\|/ ф ф \д ф \д
§1. Преобразования неизвестной функции
Рассмотрим сдвиг
и(х, у) = и{х, у) - ст(х, у) неизвестной функции м(х,у) в уравнении (1)
на некоторую заданную функцию ст(х,у). Легко видеть, что новая
неизвестная о(х,у) удовлетворяет уравнению
2., д., д., ( д2" д" д" Л
0 и 0O , ди
¦ а 1- b 1- со = / -
8 ст да , да
¦ а 1- о 1- ест
дхду дх ду
дхду дх ду
Из последней формулы видно, что если в качестве ст выбрать какое-нибудь
решение м0(х,у) уравнения (1), то в результате сдвига получится уравнение
