Физика квантовой информации - Бауместер Д.
ISBN 5-94057-017-8
Скачать (прямая ссылка):
(E0(t)\E](t)) = e-rM (7.4)
где конкретная форма функции времени r(t) будет зависеть от особенностей связи между кубитом и окружением [332]. Ее значение за-
Декогерентность 279
висит от типа кубитов и их взаимодействия с окружением, и может находиться в пределах от 104 секунд для ядерных спинов в парамагнитном атоме до 1012 секунд для электронно-дырочного взаимодействия в объеме полупроводника [334]. Как следствие, специфическое перепутывание, описываемое выражением (7.2), уничтожает недиагональные матричные элементы в матрице плотности - так называемые «когерентности», - оставляя без изменений диагональные элементы, известные как «населенности». Этот эффект называют также дефазировкой. Позже мы опишем перепутывание кубита с окружением другого рода. С точки зрения вычислительной сложности, важно знать, как меняется характерное время декогерентности в зависимости от размеров квантового компьютера. Для этого введем модель связи кубита с окружением, которая генерирует такую эволюцию во времени, которая описана уравнением (7.1). Мы представим окружение в виде резервуара гармонических осцилляторов [333, 335], и предположим, что гамильтониан взаимодействия между одиночным кубитом и его окружением имеет вид
где сор bk\ bk - это, соответственно, частота и бозонные операторы рождения и уничтожения в k-й моде в нашем резервуаре осцилляторов, и <jz- это оператор псевдоспина Паули. Первый и второй члены в правой части уравнения (7.15) описывают, соответственно, свободную эволюцию кубита и окружения, а третий член описывает взаимодействие между ними. Состояние всей системы (кубит + окружение) описывается оператором плотности 7\t). Мы предполагаем, что в момент времени t = 0 он был равен
где | у/) обозначает начальное состояние кубита, и \vac) = Пк|0к) - это состояние вакуума всех мод в резервуаре. Поскольку [<т2,Н\ = 0, окружение не влияет на населенности в матрице плотности, и p(t) = ТгR9\t) не изменяется. В нашей модели, как и ожидалось, окружение просто разрушает квантовую когерентность. Эта модель, в которой решение находится точно, позволяет провести ясный анализ механизма перепутывания между кубитом и окружением. Похоже, именно этот механизм лежит в основе большинства процессов появления декогерентности.
Можно легко показать, что в представлении взаимодействия оператор эволюции U(t) есть оператор условного сдвига для поля [333], причем знак сдвига зависит от логического значения кубита. Следовательно, U(t) вызывает динамику того же типа, что описана в (7.2), с
к к
(7.5)
(7.6)
280 Декогерентность и квантовое исправление ошибок
\Е>)=ПШ 1*.>=Пк> . (7-7)
к к
где состояния \фк) - это когерентные состояния с амплитудами Фъ= gu(l- e°*‘)i(ow
Детальное вычисление l\t) и обобщение анализа на случай конечных температур можно найти в работах [333, 335].
7.2.2 Коллективное взаимодействие и масштабирование
Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы анализировать проявление декогерентности в регистре из п кубитов [333]. В этом случае гамильтониан принимает вид:
н 42Х-0+ ,АТ+si! А) , (7.8)
I k. /,k
где константы связи g. теперь будут зависеть от координаты кубита под номером /. Перепутывание, описываемое этим гамильтонианом, будет иметь вид
Vv-Л. у И
где /л обозначает логическое значение кубита под номером п. Резервуар гармонических осцилляторов будет теперь характеризоваться длиной когерентности Лс, на которой их флуктуации скоррелированы. Будет полезно найти вид состояний
КО
в двух предельных физически важных случаях, в зависимости от отношения физического размера нашего регистра к Лс.
Малые Лс. В этом случае каждый кубит будет чувствовать свое собственное окружение, и терять когерентность он будет индивидуально. Мы получим
КЛН?,)М"К> ¦ (7.Ю)
где все |Е.п) - такие же, как в (7.7), и матричные элементы в операторе матрицы плотности будут распадаться по закону
Л w, ,.(') = PK .Wl ,.<0)(EJEA)(E,'lEA)".(EJEA) (7.11)
Самый быстрый распад будет у матричного элемента
Рп ,,оо.о(0 = a,W°)(?. |?о)п =а!...1,00.,(0КпГ(') . (7.12)
Большие Л . Если длина когерентности Л достаточно велика, то
Декогерентность 281
можно предположить, что все кубиты взаимодействуют с окружением коллективно - то есть, можно предположить, что для всех кубитов Si t= 8к Тогда U(t) будет оператором условного сдвига с амплитудой, зависящей от логического значения всех кубитов в регистре. В более явном виде,
И, ..)=ПН(-1)',+(~1)'' -(-ома) . <7.13)
U
Быстрее всего будет распадаться
Рп ...1.00 ...о(0 = Ai..i,oo..o(°)(?u ...1 |?оо..о)= Ль 1.00 ...о(°К',гГ(') (714)
Можно легко понять физическое происхождение коеффиЦиента п2 в экспоненте, если заметить, что |.Е00 0), \Еп () есть тензорное произведение когерентных состояний амплитуды пфк%
Вышеприведенное обсуждение показывает, что распад когерентностей в регистре из п кубитов масштабируется как ехр[- Ро1у(п)у( 0], где Ро1у(п) ~ п при индивидуальном взаимодействии кубитов с окружением, и Ро1у(п) ~ л2 при коллективном взаимодействии.
7.2.3 Подпространство, не связанное с окружением
Надо заметить, что коллективные взаимодействия приводят не только к более быстрому распаду, но и к появлению областей, не связанных с окружением. Как ясно следует из уравнения (7.13), состояния с равным числом 0 и 1 не перепутываются с окружением и, следовательно, не подвержены декогерентности. Другими словами, взаимодействие не сдвигает амплитуду мод поля. Отсюда следует идея использовать изолированное подпространство в простой форме избыточного кодирования. Предположим, что мы создали в лаборатории квантовый регистр из 2L кубитов, составленный из пар кубитов, находящихся достаточно близко друг к другу, так что кубиты в каждой паре эффективно взаимодействуют с одним и тем же резервуаром. Разные пары могут взаимодействовать с разными резервуарами, хотя результат, который мы здесь хотим проиллюстрировать, не изменится, если все кубиты будут взаимодействовать с одним и тем же резервуаром. Тогда мы можем закодировать логические состояния следующим образом
