Физика квантовой информации - Бауместер Д.
ISBN 5-94057-017-8
Скачать (прямая ссылка):
Характеристики перепутывания 269
ния при очищении, но обратное утверждение, в общем, неверно; а именно, если состояние является перепутанным, то отсюда не следует с достоверностью, что оно может быть очищено [320]. Вопрос остается открытым - «как много перепутывания» содержит определенное состояние? Этот вопрос не является полностью корректным, если мы не утверждаем, что физические условия характеризуют величину перепутывания. Это утверждение сразу же подразумевает, что мера перепутывания не является единственной в своем роде; в дальнейшем мы кратко коснемся этого вопроса. До того как мы определим три различные меры перепутывания, мы сформулируем четыре условия, которым должны удовлетворять каждая мера перепутывания [321, 322].
Е1. Е(а) - 0 если а сепарабельно.
Е2. Локальные унитарные операции оставляютЕ{р) инвариантной, т.е. E(d)= E(UA®UBaWA®WB).
ЕЗ. Ожидаемое перепутывание не может увеличиться при ЛОИ + КС + ПС, представимом в виде 'LVfV = I, т.е.
'^tr(ai)E(ai/tr(ai))<E(a) , (6.46)
где сг. = V <jV">.
J II
Е4. Для чистых состояний мера перепутывания должна уменьшаться до энтропии редуцированного оператора плотности.
Условие Е1 гарантирует, что распутанные и только распутанные состояния имеют нулевое значение перепутывания. Условие Е2 гарантирует, что локальное изменение базиса не влияет на величину перепутывания. Условие 3 предназначено для уничтожения возможности увеличения перепутывания при выполнении локальных измерений, поддерживаемых классическими сообщениями. Имеется в виду, что нам достоверно известно конечное состояние. Точнее говоря, начиная с п состояний сг, мы точно знаем, что пары т. = п х 7>(сг) окажутся, в конце концов, в состоянии сг после выполнения процедуры очищения. Поэтому, мы можем достигнуть перепутывания отдельно в каждом из возможных подансамблей, описываемых сг. Ясно, что в итоге общее перепутывание не должно превосходить исходного перепутывания, что и утверждается в ЕЗ. Это, конечно, не исключает возможности выбора подансамбля, перепутывание которого, приходящееся на одну пару, выше, чем исходное перепутывание на одну пару. Четвертое условие было введено в качестве критерия устойчивости, поскольку мера перепутывания чистого состояния является единственной. Введем теперь три различные меры перепутывания, которые удовлетворяют условиям Е1-Е4. Заметим, что мы могли бы ослабить условие Е4. Это позволило бы нам ввести больше мер перепутыва-
270 Квантовые сети и многочастичное перепутывание
ния, что могло бы быть использовано в особых случаях. Соответствующий пример будет приведен ниже.
Сначала обсудим перепутывание формирования (иногда, называемое перепутыванием создания) [323]. Беннет и др. определяют перепутывание формирования состояния р как
Ес(р) :=тш]ГлЭД) , (6.47)
i
где S(pA) = -Trpjn рА - энтропия фон Неймана и минимум берется по всем возможным реализациям состояния, рлв- I^lvjrXvjrl и р'А = 7>B(|\j/.)( v|/.|). Перепутывание формирования не может быть увеличено при совместном воздействии ЛОИ и КС и, поэтому, удовлетворяет всем четырем условиям Е1-Е4 [323]. Физическую основу этой меры составляет число синглетов, которые должны быть размещены, чтобы создать данное перепутанное состояние. Необходимо также добавить, что недавно была найдена закрытая форма такой меры [324].
Похожим на эту меру является перепутывание очищения [323]. Оно определяет величину перепутывания состояния а как количество синглетов, которое должно быть очищено при использовании процедуры очищения. По существу, оно зависит от эффективности специфической процедуры очищения и может быть сделано более общим только при введении некоторого вида универсальных процедур очищения. В отличие от перепутывания формирования, для перепутывания очищения не существует аналитических выражений закрытых форм. Однако, можно рассмотреть некие верхние предельные границы; в дальнейшем мы еще вернемся к этому вопросу.
Введем теперь третью меру, которая в действительности может привести к целому семейству хороших мер перепутывания. Можно убедиться, что эта мера сильно связана с перепутыванием очищения, обеспечивая для нее верхнюю границу [322].
Если Э является множеством всех распутанных состояний (см. Рис.6.9), то мера перепутывания для состояния а определяется как
Е{(т).= minD(cr ||/о) (6.48)
ре Э 4 7 ’
где D - это любая мера расстояния (не обязательно метрическая) между двумя матрицами плотности р и сг, такая что Е(сг) удовлетворяет сформулированным выше условиям Е1-Е4.
Важный вопрос теперь состоит в том, какому условию должна удовлетворять D(o ||р), чтобы Е1-Е4 поддерживали меру перепутывания? Необходимые и достаточные условия неизвестны, хотя набор достаточных условий существует [321]. Не вдаваясь в математические подробности (при необходимости их можно найти в [322]), мы пред-
Характеристики перепутывания 271
ставим одну меру, которая удовлетворяет Е1-Е4, и другую меру, удов летворяющую только условиям Е1-ЕЗ.
Рис. 6.9. Множество всех матриц плотности, г представляется внешней окружностью. Его подмножество - набор распутанных состояний 2) представляется внутренней окружностью. Состояние ст принадлежит к перепутанным состояниям и р является распутанным состоянием, которое минимизирует расстояние D(cr \\р), представляющее, таким образом, величину квантовых корреляций в а. Состояние р"А ® р в получено при нахождения шпура р' по всем А и В. Dip* \\р'р~в) представляет классическую часть корреляций в состоянии а.
