Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
У_ _ LO_ _ -1 , пУ А _ ш' ~ с '
откуда
и окончательно
с dn^nV
п(Х') п(Х) п2 dX с
________Л dn(\)\
п(Х) ' ' V п2(А) п(A) d\ )
+ V11-
3.51. ^ = 0, где р = / mv
dt д/l - v2/с2
3.52. р=\у/Щ + 2 me2).
3.53. и = Ср
3.54. /3=| = VI - (^о/<Ю2> = тс2.
В нерелятивистском случае /3 " \/2Т/§$, в ультрарелятивистском (3 =
Kf)2
3.55. а) Т = \rnv2 + |га^- +
Z (r) с
б) Т = - - - - р4 1
' О(tm) Q
3.3. Ответы и решения
277
3.56. v
1
2еУ
т
еУ 2 тс2
1 +
еУ
В частности, при eV <С тс2
=
2еУ
т
1 -
3 еУ
<С с;
при eV тс2,
тс
I-1,
2 V еУ
3.57. а) и = 3,42 • 10 с; б) г> = 0,9999985с; в) 0,81с; г) 0,9956с.
3.58. F = ^^T(T + 2mc2), W = +Т.
3.59. р = 2my2N
1 - v2/c2
Давление имеет одинаковое значение в системе, связанной с телом, и в
системе, связанной с газом. В этом можно убедиться как путем прямого
вычисления давления в каждой из этих систем отсчета, так и произведя
преобразование Лоренца для четырехмерной силы (см. раздел 4.2).
3.60. Длина п-й трубки
тс
KnVee + тс2 у
где vn - скорость частицы в п-й трубке. В начале ускорения тс2 neVe
Т _ 1 2еУе И п ~ 2v V гп и Ln c/2v.
Оценим длину ускорителя:
/Е. В ультрарелятивистском пределе Тп me2, v
1 -
тс"
ггД4е + тс2
dn =
2veVe
yj(NeVe + тс2)2 - т2с4 - тс2 arccos
тс"
NeVe + тс2
278
Глава 3
3.61. Отношение интенсивностей
h h 7^ = ехр vf
exp
h m"c roc g
2,5
to
время жизни /i-мезона, движущегося со скоростью v
yj\ - V2/с2
Если бы релятивистское преобразование времени не имело места, мы получили
бы для отношения интенсивностей (считая, что скорость мезонов равна с):
Ь. " ехр А " 94,4.
Наблюдения согласуются с первым результатом (Ih/Io ~ 2,5) и тем самым
дают прямое экспериментальное доказательство существования
релятивистского эффекта замедления хода движущихся часов.
р sin
smi9'
, где
1 = -J==, " = 7("'+pVcosn
у 1 - Vz/cz
p, p' - импульсы частицы в системах S и S' соответственно.
Приведенной в условии приближенной формулой для ультрареляти-
вистского случая можно пользоваться, если cos ^
где v' =
= p'^-j - скорость частицы в S'. Энергия в ультрарелятивистском случае
принимает вид
8 ~ рс ^ 2^8' cos2
3.63. Рассмотрим dN частиц, движущихся в системе S' внутри телесного угла
dfl'. В системе S те же dN частиц будут двигаться внутри телесного угла
dfl = sin д dd da, образованного векторами скоростей этих частиц в
системе S. Угловое распределение частиц в системе S будет описываться
функцией F($, а), определяемой из равенства
(1) F(tf, a) dQ = F'{iа') <Ю! = dW =
3.3. Ответы и решения
279
Угол д' должен быть выражен через д с помощью формулы
cos2 $ =
(costf' + Z)
следующей из решения задачи 3.62 (v' = p'^j - скорость частицы в си-
\ V 8
стеме S'). Учитывая, что а = а!, получим окончательно:
(2) F(i9, a) = F'[ti'(ti), а]-
( cos'd' + \ sin2 $'
V v / 7
1+^7 COS
V
В случае ультрарелятивистских частиц у' = си угловое распределение в
системе S' упрощается (ср. с задачей 3.33):
(3)
(l + 7f cos#')
1 -
Заметим, что частицы, движущиеся в системе S под разными углами $,
обладают различной энергией, несмотря на то, что в системе S' у них одна
и та же энергия.
3.65.
/'(У) = 7 ( 1 + fMPx + Vg'/с2), p'v, p'z), 7 = (l -
-1/2
3.66. Функция распределения / является инвариантной величиной, это
означает, что при переходе к другой системе отсчета S':
f(r', р', t') = f(r, р, t),
где в правой части равенства надо выразить г, р и t через штрихованные
величины по формулам (3.20).
280
Глава 3
3.67. Обозначим через п\ и п<2 числа рассеиваемых и рассеивающих частиц в
единице объема. Рассмотрим процесс рассеяния в системе S. Общее число
частиц dN, рассеянных в интервал телесного угла dQ за время t
рассеивающими частицами, заключенными в объеме V, выражается, согласно
определению сечения, формулой: dN = d(Ji2Ji2^2Vt, где J\2 = = Ti\V\. В
системе S' можно написать для того же числа dN аналогичное выражение: dN
= da'12J'12n'2V't', где J'12 = п'х \v[ - v'2\ (в этой системе dN
представляет собой число частиц, рассеиваемых в телесный угол dQ',
соответствующий dQ). Таким образом,
(1) dO\2n\ri2V\Vt = do'12rLxrL2 \v[ - v'2 \ V't'.
Подобно четырехмерной плотности (рс, pv) электрического тока, величина
(ггс, nv) является 4-вектором. Отсюда следует, что
(2) щп2 = nin'2 ^1 - VlJ^2 ^ .
так как скалярное произведение двух 4-векторов инвариантно. Учитывая (2)
и то, что 4-объем инвариантен: Vt = V't', мы получим окончательно:
(3)
dcr'12 = d(Ti2-
VI (I-
Vi -V2
\V\ - Vn
В том частном случае, когда || v'2,
vi =
1 -
Vi -V2
(см. задачу 3.13) и из (3) следует, что сечение инвариантно:
(4) da12 = еЦ2.
Этот случай имеет место, например, при преобразовании от лабораторной
системы отсчета к системе ц. и. Заметим, что если поток определить
формулой J12 = n\v, где v = v\ ^1 - Vl ^ 2 ^, то сечение будет
инвариантно при произвольном преобразовании Лоренца.
3.3. Ответы и решения
281
3.68. dW =
47Г7 (1 - [3cos'd) 4п
, f dW = 1, где /3 = v/c.
3.69. / =
1 + /3 п> 2 / + 1 О
-------, откуда 6 = шс --, где т - масса 7г-мезона.
