Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
3.117. Кристаллическая решетка способна принимать импульс толь-
ко дискретными порциями q = 2irhg, где д - вектор обратной обратной
решетки. В случае кристаллической решетки, элементарная ячейка которой
имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами ai, <22, вектор д =
где 77,1, Tt2, П3 - любые целые числа. Считая, что
кристалл, имеющий очень большую массу, не может принимать от части-
3.3. Ответы и решения
255
цы энергию, выяснить, какой характер будет иметь угловое распределение
частиц, рассеиваемых на монокристалле.
3.118. Учитывая связь ро = 2тгН/Хо между импульсом ро частицы и
соответствующей длиной волны Ао, вывести условие Брэгга-Вульфа:
2asin(tf/2) = пХо, где а - расстояние между кристаллическими плоскостями,
tf - угол рассеяния частицы, п - целое число.
3.119. Выяснить, какой характер будет иметь энергетический спектр
тормозных квантов, возникающих при рассеянии заряженных частиц на
монокристалле (ср. с задачей 3.117). Угол между направлением
распространения тормозного кванта и первоначальным импульсом частицы
фиксирован и мал, tf <С 1. Частица ультрарелятивистская, <?о тс2.
3.120*. В классической модели электрон можно представить в виде
заряженного шара с некоторым радиусом R. Оценить R в предположении, что
масса электрона имеет электростатическое происхождение, т. е. его энергия
покоя равна электростатической энергии заряженного шара.
Рекомендуемая литература: кроме источников, указанных к разделу 3.1,
весьма полезны книги и статьи [Ландау и Лифшиц, Механика], [Окунь
(2000)], [Барашенков (1974)], [Окунь (1989)], [Фейнберг (1974)],
[Медведев (1977)], [Никитин и др. (1992)], [Смородинский (1972)], [Бюк-
линг и Каянти (1975)].
3.3. Ответы и решения
3.1. 1. Из однородности пространства и времени следует, что
преобразования должны быть линейными:
(1) х' = ах + а'у + P'z + (3t + р и т. д.
где а, а', /3. .. - постоянные коэффициенты, которые могут зависеть от
относительной скорости V. Если бы эти величины зависели от координат и
времени, это означало бы, что закон преобразования (1) неодинаков для
разных точек пространства и разных моментов времени, что противоречит
однородности пространства-времени.
2. Пусть три пространственные оси двух систем отсчета, S и S",
совпадают при t = tf (рис. 1.1). В этих условиях свободные члены в
равенствах (1) (постоянные р и т.п.) обращаются в нуль. Мы видим, далее,
что плоскость ху совпадает с плоскостью х'у'. Это означает, что при z = 0
должно быть и zf = 0, причем эти равенства должны выполняться при любых
значениях х', yr, zr и соответственно ж, у, г. Это возможно только если
связь между z и z' имеет вид z' = kz, к = const. Ввиду произвольности
256
Глава 3
направления осей у и z (изотропия пространства!) такая же связь с тем же
коэффициентом к должна быть между у и у': у' = ку.
Преобразования х' и t' запишем в виде
(2) х = ах -\- (3t -\- а у -\- (3 z, t = сгх -\- St -\- сг у -\- 5 z.
В плоскости х' = 0 имеем х = Vt при любых z и у, так как система S'
движется относительно S со скоростью V. Подставив эти значения х и х' в
первое равенство (2), будем иметь а' = f3' = 0, (3 = -а]/. Наконец,
обратимся к формуле преобразования для t'. Мы установили часы в системе
S' так, чтобы при х = 0 и t = 0 было t' = 0. Это возможно только при сг'
= 5' = 0. В итоге имеем следующие формулы преобразований:
(3) х' = a(V)(x-Vt), у' = k(V)y, = k(V)z, t' = a(V)x + 5(V)t,
где у коэффициентов явно указана зависимость от относительной скорости.
3. Используем теперь условие равноправия систем S и S'. Оно означает,
что формулы перехода из S' в S должны получаться из формул перехода (3)
заменой V на - V:
х = a(-V)(x' + Vt'), у = k(-V)y* = k(-V)z',
^ } t = <r(-V)x'+ 6(-V)t'.
Обратимся сначала к формулам для у и г. Случаи (3) и (4) отличаются
только направлением относительной скорости, которая в том и другом
случаях перпендикулярна плоскости yz. Но оба направления совершенно
равноправны (изотропия пространства, равноправие правого и левого!),
поэтому k(-V) = k{V). Совершая преобразование от у к у' и затем снова от
у' к у, будем иметь у = к2у, т. е. к2 = 1, к = ±1. Значение к = - 1
отвечает противоположной ориентации осей у и у', поэтому соответствие с
рис. 1.1 будет только при значении А: = 1.
Подставим в формулу (4) для х значения х' и t' из (3):
(5) х = [a(-V)a(V) + Va(V)a(-V)]x + a(-F)F[5(F) - a(F)]*.
Чтобы это равенство было справедливо при всех х и t, коэффициенты
преобразования должны удовлетворять соотношению
(6) <500 =
Второе соотношение, следующее из (5), нам не потребуется. Вместо него
воспользуемся постулатом об инвариантности скорости света.
4. Пусть в момент совпадения систем S и S'(t = t' = 0) из совпадающих
начал отсчета испущен короткий световой сигнал. Точка пересечения
3.3. Ответы и решения
257
фронта волны с осью х движется в системе S со скоростью x/t = с. Но
вследствие того, что световой сигнал распространяется во всех системах
отсчета с одинаковой скоростью, скорость фронта в системе S' будет той же
