Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
отличается от линейной связи (1.2), а переход к новым координатам не
сводится к такой простой и наглядной операции, как поворот осей. Одна из
главных областей применения такого математического аппарата - теория
относительности, специальная и особенно общая.
В заключение настоящего параграфа мы дадим определение тензоров
относительно общих преобразований координат и рассмотрим их основные
свойства в трехмерном евклидовом пространстве. Это целесообразно
22
Глава 1
потому, что смысл многих понятий и соотношений в трехмерном пространстве
оказывается более наглядным и прозрачным, чем в четырехмерном
пространстве - времени теории относительности. Мы начнем рассмотрение
этого круга вопросов со случая, промежуточного между декартовыми
прямоугольными и общими координатами, когда координатные оси системы
отсчета остаются прямолинейными, но становятся неортогональными
(косоугольная декартова, или аффинная, система координат).
Пример 1.2. Пусть в качестве базисных ортов в трехмерном евклидовом
пространстве выбрана тройка е\, е2, ез некомпланарных и неор-тогоналъных
единичных векторов. Координатными линиями являются три системы прямых
линий, проходящих через каждую точку пространства и параллельных базисным
ортам. Построить взаимный базис е1, е2, е3, который по определений связан
с исходным базисом соотношениями
еа = (ер х e7)/Z, (1-30)
Будут ли векторы взаимного базиса единичными?
Разложить произвольный вектор А {в том числе и радиус-вектор г) по
векторам еа и исходного и взаимного базисов. Указать геометрический смысл
его компонент в том и другом случаях (в первом случае они называются
контравариантными и обозначаются верхними индексами А1, А2, А3; во втором
случае - ковариантными и обозначаются нижними индексами Ai, А2, Аз).
Решение. Согласно (1.30), е1 должен быть перпендикулярен е2 и ез. Ищем
его в виде е1 = ке2 х ез и из условия нормировки e1ei = 1 находим
к = 1 = 1
V е\{е2 х е3) '
где к~г = V - объем параллелепипеда, построенного на векторах исходного
базиса. V > 0, если выбрана правая система координат. Таким образом,
еа = (ер х e7)/V, (1.31)
где а, /3, 7 образуют циклическую перестановку. Радиус-вектор г и любой
другой вектор разлагаются по базисным векторам обычным образом:
г = х\е1 + х2е2 + хзе3 = х1е\ + х2е2 + х3ез. (1-32)
Умножая первое равенство скалярно на еа, найдем
ха=е-аг
(1.33)
1.1. Векторная и тензорная алгебра
23
таким образом, геометрически ковариантные компоненты вектора суть
результат обычного проектирования с помощью перпендикуляров, опущенных из
конца вектора на координатные оси. При этом контравариантные базисные
векторы, на которые умножаются ковариантные компоненты вектора, отнюдь не
совпадают по направлению с координатными осями (рис. 1.3) и не имеют
единичной длины. Например, если вектор ез ортогонален е\ и в2, а угол
между последними равен ф, то | е11 = | е21 = 1/ sin ф, а длина гипотенузы
О В = \х\е1\ = х\/ ъ\пф > х\, но длина катета ОС = х\. Контравариантные
компоненты, как следует из (1.33) и рис. 1.3, получаются путем
проектирования вектора на координатные оси отрезками, параллельными осям.
Для них справедливо представление, аналогичное (1.33):
г.
(1.33')
Рис. 1.3
Пример 1.3. Определим девятикомпонентные величины 9а0 = еа ¦ е0, да& = еа
¦ е0,
(1.34)
где еа, еа - базисные векторы исходного и взаимного неортогоналъных
базисов, введенные в примере 1.2. дар и да@ называются ковариантными и
контравариантными компонентами метрического тензора.
Доказать следующие соотношения, связывающие ковариантные и
контравариантные компоненты произвольного вектора {правила подъема и
опускания индекса):
i)Aa=ga0Aб)Аа=да0А0; в) да0д^ = = <?.
(1.35)
Здесь 5^ - символ Кронекера.
Вычислить определители ковариантного и контравариантного метрического
тензора и выразить их через объемы V и V параллелепипедов, построенных на
векторах исходного и взаимного базисов.
Решение. Исходим из разложения (1.32):
А = Аре^3 = А^ер.
Умножив его скалярно на еа и пользуясь определениями взаимного базиса
(1.31) и метрического тензора (1.34), получим (1.35а); умножив это
24
Глава 1
е\в\ е\е2 е\е3
9 = е2е\ е2е2 е2е3
е3е\ е3е2 е3е3
разложение скалярно на еа, получим (1.356); подставив (1.356) в (1.35а),
находим (1.35в).
Обозначив д = \дар\ и пользуясь определением (1.34), а также формулой
(1.29а), находим
= (е1е1)(е2е2)(е3е3) + (е2е1)(езе2)(е1ез) +
= + {е3е1)(е1е2)(е2е3) - (е1е2)(е2е2)(е3е1)-
- {е2е3)(е3е1)(е1е1) - (е3е3)(е1е2)(е2е1) =
= 01(^2)/3(б!)д(б2)гу(бз)а = [ei(e2 X ез)] = V >0.
Аналогичным образом получаем \да@\ = V2. Из (1.35в) следует \да^\д = 1,
поэтому |ga/3| = д~х = F-2 > 0 и F = F-1.
Задачи
1.37. Пусть при переходе к другой косоугольной прямолинейной системе
координат базисные векторы еа задающие направления координатных осей,
преобразуются по закону
е'а = аа0ер, (1.36)
где аа@ - матрица преобразования.4
а) Выразить ее элемента через скалярные произведения базисных векторов
