Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
вести себя при инверсии системы координат, т. е. при преобразовании вида
ха = О-14)
где матрица преобразования аар = - 5ар. Те векторы, компоненты которых,
как и координаты ха, меняют знак при инверсии, называются истинными, или
полярными. Векторы, компоненты которых при инверсии координат не изменяют
знака, называются псевдовекторами, или оксиальными векторами (угловая
скорость вращения, векторное произведение двух полярных векторов А х
В и др.). Это определение распространяется и на тензоры
произвольного ранга s: компоненты полярных (истинных) тензоров
при
инверсии координат приобретают множитель (-l)s, а компоненты
псевдотензоров множитель (-l)s+1.
Сумма двух тензоров одинакового ранга образует третий тензор того же
ранга, компоненты которого
Qa(3 = Та/з + Рар. (1-15)
Из прямых произведений компонент двух тензоров (без суммирования)
составляется тензор, ранг которого равен сумме рангов тензоров-сомножи-
телей, например:
Qaf3X = Ta(3V\, (1-16)
где Qa/зх - тензор III ранга.
Свертывание тензора - это образование нового тензора, компоненты которого
получаются путем отбора компонент с двумя одинаковыми
14
Глава 1
значками и последующего суммирования, например Qapp = Аа - вектор, Qa(3a
= Вр - другой вектор. В результате свертывания ранг тензора уменьшается
на две единицы, в частности,
При записи равенств между тензорами должно быть выполнено правило
одинаковой тензорной размерности: приравнивать можно только тензоры
одинаковых рангов. Это означает, что число свободных значков (по которым
не ведется суммирования) в правой и левой частях равенства должно быть
одно и то же. Число пар "немых" значков (по которым производится
суммирование) справа и слева может быть произвольным.
Тензор называется симметричным (антисимметричным) по паре индексов а и
/3, если его компоненты удовлетворяют условиям
Компоненты тензоров могут быть не только действительными, но и
комплексными величинами. Во втором случае важную роль играют понятия
эрмитова и антиэрмитова тензоров. Определение эрмитова тензора:
где звездочка означает комплексное сопряжение. Определение антиэрмитова
тензора:
В приложениях очень важны инвариантные единичные тензоры 5ар и еар\.
Первый из них является симметричным истинным тензором, и его компоненты
совпадают с символом Кронекера (1.7), а второй антисимметричный по любой
паре индексов псевдотензор, компоненты которого определяются условиями
б) еар\ = -ера х = -еа\р = е\ар = ер\а = -е\ра.
Оба тензора, преобразуясь при поворотах по правилу (1.5), обладают тем
свойством, что во всех координатных системах их компоненты имеют
одинаковые значения:
S = Таа = inv
(1.17)
- скаляр.
(1.18)
rph _____ rph
аР Pai
(1.19)
rpah ___ rpah
1аР 1 Pa'
(1.20)
a) ei23 = +1)
(1.21)
(1.22)
1.1. Векторная и тензорная алгебра
15
Задачи
1.1. Доказать равенство (1.8). Чему будет равен определитель матрицы
преобразования, если поворот сопровождается инверсией координатных осей?
УКАЗАНИЕ. Воспользоваться соотношениями (1.11) и (1.12).
1.2. Доказать равенства (1.22) при преобразованиях поворота координатной
системы.
1.3. Выше (после формулы (1.13)) дано определение псевдотензора 5-го
ранга. Записать правило преобразования его компонент, аналогичное (1.5),
которое годилось бы не только при поворотах, но и при отражениях
координатных осей.
1.4. Представить произвольный тензор II ранга Та/з в виде суммы
симметричного (Sap = S/3a) и антисимметричного Аар = - Ара тензоров.
Убедиться в единственности такого представления.
1.5. Представить произвольный комплексный тензор II ранга в виде суммы
эрмитова и антиэрмитова тензоров. Убедиться в единственности такого
представления.
1.6. Показать, что
а) свертка симметричного и антисимметричного тензоров равна нулю:
SapAap = 0;
б) свертка двух эрмитовых или двух антиэрмитовых
тензоров II ранга представляет собой действительное число;
в) свертка эрмитова и антиэрмитова тензоров II ранга Т^Р^ представляет
собой чисто мнимое число.
1.7. Показать, что симметрия тензора есть свойство, инвариантное
относительно вращении, т. е. тензор, симметричный (антисимметричный) по
паре индексов в некоторой системе отсчета, остается симметричным
(антисимметричным) по этим индексам и во всех системах, повернутых
относительно исходной.
1.8. Показать, пользуясь правилами (1.1)-(1.5) преобразования тензоров,
что
а) Аа - вектор (псевдовектор), если АаВа = inv и Ва - вектор
(псевдовектор);
б) Аа - вектор, если Аа = ТарВр в каждой координатной системе и Тар -
тензор II ранга, а Вр - вектор;
в) Таа = inv, где Та/з - тензор II ранга;
16
Глава 1
г) еар - тензор II ранга, если Аа и Вр - векторы и во всех
координатных системах Аа = еарВр. Что будет представлять собой еар, если
Аа - вектор, а Вр - псевдовектор? Аа и Вр - оба псевдовекторы?
д) Аар\Вар - вектор, если Аар\ и Вар - тензоры III и II рангов
соответственно;
е) ТарРар - псевдоскаляр, если Тар и Рар - соответственно тензор и
псевдотензор II ранга.
