Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
опирающейся на контур; используя формулу (1.99), получим
А = 4- J dSx v(i) = 4/Vm(±) X dS,
где Vm означает дифференцирование по координатам точки наблюдения М.
Вычисляя Н = rot А, находим:
(5) Н = ^ /(dS ¦ VM)VM (?) = ^JdS-^M (±).
^При преобразовании использовано равенство А =0; предполагается,
что точка г = 0 не лежит на поверхности интегрирования.^ Сравнивая (5) с
формулой Н = - grad?/', получаем
*=-4- fas (I)=-4- j
196
Глава 2
2.97. F = О, N = т х Н,
где т = - J п • dS - магнитный момент контура с током.
2 98 U-m 1-1712 3(тт-г)(тп2-г).
9
F2 = -F1 = - [(mi • r)m2 + (ш2 • r)mi + (mi • m2)r] -
15
-----(mi • r)(m2 • r)r,
v
где r - радиус-вектор, проведенный от первого тока ко второму, F\, F2 -
силы, действующие на первый и второй токи;
3(т2 • r)(mi х г) т2 х mi
JVl =--------^+^--------------------'
3(mi • г)(т2 х г) т1хт2
N2 =---------^+^--------------------'
где iVi, iV2 - вращательные момент, приложенные к первому и второму токам
соответственно. Следует отметить, что N\ ^ N2, но
JVi + N2 + (r х F2) = 0.
Если магнитные моменты параллельны (mi = rain, m2 = т2п, г = гг о, п и го
- единичные векторы), то получим
3ra2ra2[2ncos$ - ro(5 cos2 $ - 1)]
2 = ----------------J--------------,
Г
где $ - угол между п и г о.
2.100. Потенциальная функция тока $2 в поле тока
2/i/2
u21 = ---- - In а + const,
с"5
где а - расстояние между токами.
Сила, действующая на единицу длины второго тока:
2.4. Ответы и решения
197
При параллельных токах (^i и ^2 одинакового знака) имеет место
притяжение.
2.101. Сила F и вращательный момент N определяются дифференцированием
потенциальной функции:
тт( ч 4r2 + а2 + 4ar cos а
и(г, а) =----------In ----------.
с 4г + а - 4аг cos а
2.102. N =
-(sin^ - ip cosip).
2.104. if = 21n?.
2.105. I/i2 = 47г(6 - \/Ъ2 - а2);
/1/2 dL2i ___________
" ' аь с2 V
2.106*. В этой задаче удобно использовать формулу (2.70). Вычисляя
интеграл так же, как в задаче 2.19, получим
1/12 = Аттл/аЬ
к)к(к)-^Е(к)
где
К(к) = J
dip
\/l - к2 sin2 ф
л
Е(к) = J \Jl - к2 sin2 'i/jd'i/j,
к2 =
Aab
(а + b)2 + I2 '
При I а, 6, параметр fc мал:
198
Глава 2
поэтому можно использовать приближенные формулы для Е и К (см. справочник
Градштейна и Рыжика (1971), 8.113, 8.114:)
Щк) = I (i + , Е(к) = f (i - J*2 - uki
Оставляя в выражении для L12 только члены, пропорциональные к3, получим в
первом неисчезающем приближении
г 2тг 2а2Ь2
112 - -р--
Последний результат легко получить и из равенства L12 = с^12, рассмат-
</1
ривая кольца с током как магнитные диполи.
2.107. В обозначениях предыдущей задачи
^=47T/l/2 I
С2 у> + 6)2 + J2
^2 I I /2
-ад+Г ?2эд
(а + b)2 + ?
2.108. = 47гп25. Для соленоида большой, но конечной длины h,
пренебрегая краевым эффектом, получим полную индуктивность
L = 47г n2Sh.
2.109. Вычисляем магнитную энергию по формуле
w = b!hirdSii^
Здесь dSi и dS2 - элементы поверхности соленоида, R - расстояние между
ними, через i(i\ = %2 = i = п^") обозначена плотность поверхностного
тока, которым заменен ток, текущий в обмотке соленоида, п - число витков
на единицу длины.
Интеграл удобно вычислять в цилиндрических координатах:
irn2a2J2 Г f Г cos a da
о о
yj(zi - Z2)2 + 4а2 sin2 I
27т2а2п2 J?2h ^1 -
с2
2.4. Ответы и решения
199
где отброшены все члены порядка и выше. Отсюда
L = A-K2a2n2h(l - тгЦ;У V 37Г h )
Если пренебречь членом a/h по сравнению с единицей, то получится
результат предыдущей задачи:
L = 47т2а2п2Н = 47m2Sh.
2.110. Для кругового сечения
L = 4nN2(b- y/b2 - а2).
Самоиндукция на единицу длины .-? = для бесконечного соленоида получится,
если сделать предельный переход Ь -> оо при заданном числе
витков на единицу длины п =
N .
27г b'
!? = 47т2п2а2 = 47xn2S
(ср. с задачей 2.108).
Для прямоугольного сечения
L = 2N h\n
2 Ъ-
2 Ъ - а'
При Ъ^> а опять имеем !? = 47m2S.
2.111. Вычислим магнитную энергию единицы длины линии по формуле
(2.75). Векторный потенциал прямого провода с током был получен в задаче
2.71. Для провода 1 (рис. 2.22) запишем его в виде
Jrl
Aiz = С----------- при г 1 < а,
сот
Mz = С - 1 + 2 In при п > а.
О)
Векторный потенциал, создаваемый проводом 2, получится при замене в (1) $
на - а на b и г\ на
200
Глава 2
Находим магнитную энергию:
w-^ I(Alz + A2z) dS1 - [{Аи + A2z) dS2. (2)
2тгса J 2тгcb J
1 2
Интегралы, входящие в (2), можно вычислить, использовав справочник
Градштейна и Рыжика (1971). Учитывая затем связь между коэффициентом
индуктивности и магнитной энергией системы, получим окончательно:
= 1 + 21п^.
ab
2.112*. Полная магнитная энергия тока, протекающего по проводнику,
складывается из двух частей:
(1) W = +
где
И 'т = / Я?
8?/Я'
)ВОДН1
й/'
- энергия, запасенная внутри проводника и интегрирование ведется по
объему проводника,
w2 = ^ [ HldV
- энергия, запасенная в остальном пространстве.
Предположим, что можно ввести параметр го, имеющий размерность длины и
удовлетворяющий условию
(2) а " г0 " й,
где а - радиус проводника, R - радиус кривизны осевой линии проводника
