Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
записать в виде
W = -U=±J j(r) ¦ A{r) dV = I 3{r)'?{r,) dVdV'. (2.75)
V V
Эти выражения пригодны для постоянных токов в самом общем случае, они
включают в себя как собственные энергии любого числа проводников с током,
так и их энергии взаимодействия.
Магнитная энергия допускает полевую интерпретацию после преобразования
выражений (2.75) аналогично тому, как это делалось в электростатике.
Положив j = (c/47r)roti? согласно (2.54) и воспользовавшись тождеством
A-rotH = div[if х!]+Я • rot А,
будем иметь
W = ± J Н-rot AdV + ^j>[H X А] • dS,
V s
где S - поверхность, ограничивающая объем интегрирования V. В случае
системы токов конечных размеров можно интегрировать по всему
безграничному пространству. Интеграл по бесконечно удаленной поверхности
обратится в нуль, и магнитная энергия будет выражена только через
напряженность магнитного поля Н:
W = J wdV, где w = ^Н2 (2.76)
- объемная плотность магнитной энергии. Согласно последнему
выражению, магнитная энергия, в отличие от (2.75), сосредоточена не
только в областях, где текут токи, но разлита по всему пространству с
объемной плотностью w. Аналогия с формулой (2.33) электростатики
очевидна.
Пример 2.13. Пусть в пределах ограниченной в пространстве системы
постоянных токов с плотностью j(r) внешнее магнитное поле слабо
неоднородно. Выразить потенциальную функцию системы через ее магнитный
момент.
144
Глава 2
Решение. Использовав формулы (2.65), (2.67), запишем искомую
потенциальную функцию:
(1) U = -^A-dl^~lJj(r)-A(R + r)dV,
где г отсчитывается от некоторой точки внутри системы токов (см. рис.
2.8). Представим векторный потенциал внешнего поля в виде
A(R + г) " A(R) + (г • V)А(Д),
где оператор V действует на R. После подстановки этого выражения в (1)
первый интеграл обращается в нуль, что было получено при решении примера
2.11. Второй интеграл преобразуем с помощью тождества (3) из решения того
же примера, заменив в указанном тождестве вектор г вектором V. Это дает:
\ JЯг)(г ¦ V) dV = ± J[rx j(r)j dV х V = т х V.
Подставляя этот результат в (1), находим потенциальную функцию:
U = -[т х V] • A(R) = -т • Н, (2.77)
где H(R) = V х A(R) - напряженность внешнего магнитного поля. ¦
Задачи
2.97. Найти силу F и вращательный момент N, действующие на замкнутый
тонкий проводник с током в однородном магнитном поле Н. Форма контура,
образованного проводником, произвольна. Решить задачу двумя способами:
прямым суммированием сил и моментов сил, приложенных к элементам тока, и
с помощью потенциальной функции. Результат выразить через магнитный
момент га.
2.98. Найти потенциальную функцию U двух малых токов, магнитные моменты
которых mi, т2. Определить силу взаимодействия F этих токов и приложенные
к ним вращательные моменты N. Рассмотреть частный случай mi || m2.
2.99. Показать, что силы, действующие между малыми токами, стремятся
установить магнитные моменты этих токов параллельно друг другу и линии,
соединяющей центры.
2.2. Магнитостатика
145
2.100. Найти потенциальную функцию и21 (на единицу длины) двух
параллельных бесконечно длинных прямых токов ^1, J?2 и силу / их
взаимодействия на единицу длины.
2.101. Квадратная рамка с током ^2 расположена так, что две ее
стороны параллельны длинному прямому проводу с током (рис. 2.11). Сторона
квадрата а.
Определить действующую на рамку силу F и вращательный момент N
относительно оси ОО'.
2.102. Рамка с током $2 состоит из души окружности с углом 2(7г - ср)
и соединяющей ее концы хорды (рис. 2.12). Радиус дуги а. Нормально к
плоскости рамки через центр окружности проходит длинный прямой провод с
током Найти момент сил N, приложенный к рамке.
2.103. Внутри тонкой проводящей цилиндрической оболочки радиуса b
находится коаксиальный провод радиуса а. Найти самоиндукцию !? на единицу
длины.
2.104. Линия состоит из двух коаксиальных тонких цилиндрических
оболочек с радиусами а и b (а < Ь). Найти самоиндукцию 5Е на единицу
длины.
2.105. Длинный прямой провод и кольцо радиуса а лежат в одной
плоскости. Расстояние от центра кольца до провода Ь. Найти коэффициент
взаимной индукции Ь\2 и силу взаимодействия F, если сила тока в проводе
/ь в кольце /2-
Рис. 2.11
146
Глава 2
2.106*. Два тонких кольца с радиусами а и b расположены так, что их
плоскости перпендикулярны отрезку прямой длиной I, соединяющему центры
колец. Найти коэффициент взаимной индукции L12. Результат выразить через
эллиптические интегралы. Рассмотреть, в частности, предельный случай I а,
Ъ.
2.107. Найти силу взаимодействия F между двумя кольцевыми токами,
рассмотренными в предыдущей задаче.
2.108. Найти самоиндукцию !? единицы длины бесконечного
цилиндрического соленоида с густой намоткой и с произвольной (не
обязательной круговой) формой сечения. Площадь сечения S, число витков на
единицу длины п.
2.109. Найти самоиндукцию L соленоида конечной длины h и радиуса a (h
а), с точностью до членов a/h. Ток, текущий в обмотке, заменить
эквивалентным поверхностным током.
