Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
изложена в конце раздела 2.3. Применение этого метода к более сложным
случаям см. в задаче 5.143 и последующих.
Рекомендуемая литература: [Алексеев (1977)], [Бредов и др. (1985)],
[Ландау и Лифшиц, Теория поля], [Гинзбург (1987)], [Френкель (1956)],
[Соколов и Тернов (1983)], [Джексон (1975)], [Новожилов и Яппа (1978)],
[Батыгин и Топтыгин (1970)], [Байер и др. (1973)].
Задачи
5.114*. Найти импульс электромагнитного поля частицы с зарядом е,
движущейся равномерно со скоростью v. Частицу рассматривать в ее системе
покоя S' как твердый шарик с радиусом г о (в системе, где скорость
частицы равна v, имеет место лоренцево сокращение). Ввести
электромагнитную массу то покоя частицы, связанную соотношением Эйнштейна
с энергией ее поля в состоянии покоя. Какие при этом возникают трудности?
5.115. Найти энергию Wm магнитного поля, а также полную электромагнитную
энергию W частицы, рассмотренной в предыдущей задаче.
5.116*. Найти силу F, с которой заряженная сферически симметричная
частица действует сама на себя (сила самодействия) при ускоренном
поступательном движении с малой скоростью v <С с. Запаздывание и
лоренцево сокращение не учитывать.
УКАЗАНИЕ. Вычислить равнодействующую сил, приложенных к малым элементам
de заряда частицы, воспользовавшись выражением для напряженности поля
точечного заряда (5.58).
5.117*. Найти уточненное выражение для силы F самодействия заряженной
сферически симметричной частицы (см. предыдущую задачу). При решении
учитывать эффект конечной скорости распространения взаимодействия с
точностью до первого порядка по времени tr - t распространения
взаимодействия между элементами частицы. Рассмотреть, в частности,
предельный случай точечной частицы. Оценить вклад отбрасываемых членов
более высокого порядка по tf - t в этом предельном случае.
5.4. Взаимодействие заряженных частиц с излучением
491
5.118*. В задачах (5.114)-(5.117) было показано, что "наивное"
определение собственной энергии и импульса заряженной частицы конечных
размеров (модель Абрагама-Лоренца, см. формулы (1) и (2) из решения
задачи (5.114)) приводит к неправильной связи между ними. Ввести
ковариантное определение указанных величин, использовав для этого тензор
энергии-импульса электромагнитного поля (4.126) и произведя
интегрирование по некоторой пространственноподобной гиперповерхности,
выбранной таким образом, чтобы в системе покоя частицы выполнялись
условия
Показать, что в этом случае энергия и импульс частицы образуют 4-вектор с
компонентами рг = (7гас, jmv), где
- инвариантная масса. В первом интеграле интегрирование производится
по трехмерному объему в произвольной инерциальной системе, во втором - в
системе покоя частицы.
5.119. Какое время Т прожил бы резерфордовский атом водорода, если бы
электрон в атоме двигался и излучал как классическая частица? Считать,
что электрон, теряя энергию, движется к протону по пологой спирали, так
что в каждый момент времени он излучает как заряд на круговой орбите
(радиус орбиты медленно меняется со временем). При каком условии
справедливо это предположение? Начальный радиус атома а = 0,5 • 10-8 см.
5.120. Релятивистская частица с зарядом е и массой га движется по
круговой орбите в постоянном однородном магнитном поле Н, теряя энергию
на излучение. Найти закон изменения энергии и радиуса орбиты со временем
8(t) и r(t). В начальный момент времени t = 0 энергия частицы равна (§о
(ср. с задачей 5.119).
5.121. Электрон в бетатроне разгоняется на орбите постоянного радиуса
а вихревым электрическим полем. Последнее индуцируется временным
магнитным полем частоты со. Найти критическое значение энергии электрона
при котором потери на излучение сравняются с энергией, приобретаемой
электроном за счет работы вихревого электрического поля.
5.122*. Частица с зарядом е и массой га притягивается к некоторому центру
квазиупругой силой - тпсо^г. В некоторый момент времени t = 0 в этом
гармоническом осцилляторе возникают свободные колебания. Учитывая реакцию
излучения, но считая ее малой, найти закон затухания
J(Е2 - Я2) d3
Х 8тгс
J Е'2 dV'
492
Глава 5
этих колебаний. Определить форму спектра такого осциллятора и ширину
спектральной линии ("естественная ширина"). Как связаны между собой
неопределенность энергии ?ио излучаемых фотонов и время жизни
осциллятора?
5.123. Газ состоит из атомов с массой т. Неподвижный атом этого газа
излучает свет с частотой соо (естественной шириной линии испускания
пренебрегаем). Из-за теплового движения атомов и эффекта Доплера
наблюдатель, неподвижный относительно сосуда с газом, зарегистрирует
частоту, отличающуюся от оо$. Найти форму спектра излучения газа,
du
нагретого до температуры Т.
УКАЗАНИЕ. Скорости атомов газа распределены по закону Максвелла
3 т1)2
где - доля молекул, скорость v которых заключена в промежутке dvx dvy
dvz,
к = 1,38 • 10-16 эрг/град - постоянная Больцмана. Так как выполняется
условие v С с, можно в формуле, выражающей допплеровское изменение
