Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
компонента Аа, которая не будет зависеть от угла а. Поэтому уравнение для
векторного потенциала запишется:
АА-
г2 sin2 д
Аа= 0
(1)
(см. ответ к задаче 47).
Постоянное магнитное поле 313
Поскольку плотность тока зависит от угла $ по закону sin т?, естественно
искать решение уравнения (1) в виде
Аа(г> &) = F(г) sin$. (2)
Как будет видно из дальнейшего, F(r) можно выбрать так, чтобы
удовлетворялись уравнение и граничные условия, и это оправдывает выбор
решения (2). Отметим, что векторный потенциал (2) удовлетворяет условию
div А = О,
выполнение которого необходимо, чтобы имело место (1).
Определяя F(r) с помощью уравнения (1) и граничных условий, получим Аа и
Н = rot А.
Напряженность магнитного поля внутри сферы (г < а)
it 2 SLU
н = ^'
при г > а
тт 3r(m • г) m
е о 1
Г5 г3
еа2 -
где m = - магнитныи момент системы.
ос
254. В точках, где j = 0, можно положить Н = - grad^i. Тогда уравнение
rot Н = 0 выполняется при всех ф, а уравнение div Н = 0 дает
Аф = 0.
Последнее уравнение должно быть решено при дополнительном условии
/
I
где I - любой контур, охватывающий ток Вводим цилиндрические координаты
г, a, z и ищем решение в виде ф = ф(а).
Окончательно получим
ф = -Ц-а, Я" = |р, Hr = Hz = 0.
255. а) Чтобы скалярный потенциал ф магнитного поля был однозначной
функцией, выберем некоторую поверхность 5 (рис. 69), опирающуюся
314
Глава V
на контур с током, и будем считать, что при переходе через эту
поверхность ip терпит разрыв:
ф(2)-ф(1) = ^. (1)
Точки 1 и 2 лежат бесконечно близко друг к другу по разные стороны
поверхности, причем направление из 1 в 2 составляет с направлением тока
правовинтовую систему.
Решение уравнения Лапласа можно записать в виде (см. [101]):
(2)
В выражении (2) интегрирование нужно проводить по бесконечно удаленной
замкнутой поверхности S', а также по всем замкнутым поверхностям лежащим
на конечном расстоянии от начала координат, внутри
которых гр или -s- имеют разрывы. В рассматриваемом случае интеграл по
071
бесконечно удаленной поверхности равен нулю, так как источник поля
(контур с током) имеет ограниченные размеры. Поверхности, на которых нор-
д-ф тт
мальная производная -s- = -Нп имеет разрыв, отсутствуют, так как Нп -
071
непрерывная величина. Поэтому в (2) интеграл должен быть взят по одной
поверхности Е, окружающей 5.
Будем стягивать Е до совпадения с 5. Вследствие непрерывности величин ^ и
^ на поверхности 5, формула (2) примет вид
<3>
где интегрирование теперь ведется по незамкнутой поверхности 5. Используя
равенство (1), получим
Постоянное магнитное поле 315
Интеграл / г' ^ представляет собою телесный угол fi, под которым виден
Г
контур с током из точки наблюдения, поэтому формулу (4) можно записать в
виде
Ф = -?п.
Знак fi положителен, если радиус-вектор г, проведенный из точки
наблюдения в некоторую точку поверхности S, и направление тока в контуре
составляют правовинтовую систему.
б) Преобразуем интеграл по контуру в интеграл по поверхности, опирающейся
на контур; используя результат задачи 55, получим
±fd8xv(i) = ifvM(l)xdS,
где Vм означает дифференцирование по координатам точки наблюдения М.
Вычисляя Н = rot А, находим:
Н=| |(dS.V)(i)=|vM JdS-VM(±). (5)
(при преобразовании использовано равенство =0; предполагается,
что точка г = 0 не лежит на поверхности интегрирования.^ Сравнивая (5) с
формулой Н = - grad ф, получаем
256. F = 0, N = m х Н, где m = ^ f n • dD - магнитный момент контура с
током.
257 3(mi • r)(m2 • г)
3 5 '
Г Г
О 1К
F2 = -Fi = -r[(mi • r)m2 + (m2 • r)mi + (mi • m2)r]--------------=-(mi -
r)(m2-r)r,
r° rl
где г - радиус-вектор, проведенный от первого тока ко второму, Fi, F2 -
силы, действующие на первый и второй токи;
Ni _ 3(m2 • r)(mi х г) + щ2 х пц
г5 г3 '
3(mi • г)(т2 х г) i пц х т2
^ 2 - е I о J
гь Г6
316
Глава V
где Ni, N2 - вращательные моменты, приложенные к первому и второму токам
соответственно. Следует отметить, что N1 ф -N2, но
N1 +N2 + (г х Р2) = 0.
Если магнитные моменты параллельны (mi = min, m2 = m2n, г = гго, п и го -
единичные векторы), то получим
где •& - угол между п и го.
259. Потенциальная функция тока в поле тока :
2J?iJ?2
u2i =-----5- In а + const,
где а - расстояние между токами.
Сила, действующая на единицу длины второго тока:
При параллельных токах и ^2 одинакового знака) имеет место притяжение.
260. Сила F и вращательный момент N определяются дифференцированием
потенциальной функции:
ди21 да
2JiJ2
^i^2g jn 4г2 + а2 + 4аг cos а с2 4г2 + а2 - 4аг cos а
261. N = ^$ а (sin ip -ip cos ф).
262. i?=i/io+2/iln|.
263. i? = 2pln|.
264. Li2 = 47г(6 - \/62 - a2);
Постоянное магнитное поле
317
265. В этой задаче удобно использовать формулу (V.23). Вычисляя интеграл
так же, как в задаче 89, получим
Ь12 = 4тг>/аь[(| - k)K(k) - |Е(к)],
где
К(к) = J
dip
\/l - к2 sin2 ф
?
, Е(к) = j yj]^-k2~sii^фdф,
Aab
(iа + b)2 + 12
При I а,Ь параметр к мал:
4 ab
2'/аЬ
I
"1,
поэтому можно использовать приближенные формулы для ЕиК (см. справочник
