Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
Из (6) после некоторых преобразований находим, что
А= "
Ri ch/3a + vTir sh^/3 + i ja
Окончательно получаем для тока на отрезке Ак Ак+i линии следующее
выражение:
Л =_______________________________ (7)
R, ch/За + \/Дг sh^/3 + ija
Входящие в (7) постоянные а и /3 определяются уравнениями (2), (5).
При сухой изоляции г -> оо, a -> 0 и (7), как и следует ожидать,
принимает вид:
Постоянный ток 303
Из (7) и (8) находим для отношения э. д. с. <§о и ?, обеспечивающих один
и тот же ток через нагрузку при сухой и сырой изоляции, выражение:
^ -Rich/fo + v/firsh^+^a
[-Ri+iia + tn + ^-RJch^-n+i^a
Если сопротивление нагрузки Ra = 0, то уравнение (5) упрощается и из него
в этом случае следует, что
/3 = n+i (10)
224. Если J(x), <р(х) - ток и потенциал жилы (относительно земли) в
сечении с координатой х, то
225.
= "сЪ,(г-х")---1
Ri ch зхо + s/pp' sh sxq
где s = №. Постоянная xq определяется из уравнения
V P
th s(xo - a) = -p==- (2)
VW7
При Ri = Ra = 0
= ?0^-") _ (3) VP/У sh sa
Если нет утечки, то (/ -> оо, хо -> a, s -> 0 и вдоль кабеля ток
принимает постоянное значение:
Jo =
Ri + ра + Ra
При использовании формулы (7) из решения задачи 223 нужно положить
~ .... Р i. _ х_а
304
Глава IV
Тогда из уравнения (2) решения задачи 223 следует, что а = sdx. Величина
в в этом решении связана с хо соотношением /3 = так что /За = хоз.
ах
Подстановка этих выражений в уравнения (5) и (7) решения задачи 223
приводит к приведенным выше формулам (1) и (2).
226.
Ei = k , Di = eiXlV
Xi/l2 + Хг/ll ' Х1Л2 + Х2Л1 '
E = XlV D = ?2XlV
Х1Л2 + Х2Л1 ' Х1Л2 + Х2Л1 '
. _ . _ X1X2V ^ X\h2 + >*2 hi
На границе раздела между пластинками:
_ Е2 - Ei _ _ x2(ei - 1) ~ *i(?2 - 1)^
Стсв 47Г а 47r(xi/l2 + Х2Л1) '
_ D2-D1 _ (?2X1 -?iX2)K 47Г 47r(xi/l2 + Х2Л1)
Величина V больше нуля, если первая пластинка прилегает к положительно
заряженной обкладке.
У границы обкладки и первой пластинки:
_ D\ _ Е\ - D\ а~ 4тг' асв~ 4тг '
У границы обкладки и второй пластинки:
D2 Е2 - D2
а ~ 47г ' СТсв__ 4тг '
tgffi _ xi tg/32
где /3i, /Зг - углы, образованные линией тока с нормалью к поверхности
раздела в первой и второй среде.
Постоянный ток
305
228.
0 < г < а,
7г ах
Jz 1п?
Ч> = ь
7га2х1п f
О
.0, г > 6.
Из этой формулы видно, что электрическое поле в пространстве между
проводниками не направлено по оси z. Наличие отличной от нуля радиальной
составляющей электрического поля Ег говорит о том, что на цилиндрических
поверхностях проводников имеются поверхностные заряды с плотностями
еЕг ai 47Г
еУг " еЕг
<72 -
4ж2а3х In Ц-' 47Г
eJz
г=ь 4п2а2Ьх\п%
Ь Ь
При z = 0 плотности <л и <72 обращаются в нуль. Положение сечения, на
котором <л = <Т2 = 0, не является определенным. Это сечение может быть
смещено, если на провод поместить добавочный постоянный заряд. Заряды qi
= 2жаа\ и <?2 = 27г6<Т2 = -q\, приходящиеся на единицу длины провода и
оболочки (при одном и том же z), связаны с разностью потенциалов между
ними
ь
соотношением
= [ Erdr =
J ах
9i 1 .
- = const.
Отношение q\/V совпадает в данном случае с емкостью на единицу длины
цилиндрического конденсатора в электростатической задаче.
Магнитное поле имеет, очевидно, тот же вид, что и поле бесконечно
длинного прямого провода с током S. Это объясняется тем, что плотность
тока в бесконечно толстой оболочке равна нулю, вследствие чего обратный
ток не создает магнитного поля.
229. Е0 = -k(x2l\ + х\/2)^0" Е\ = кх2<§о> Е2 = кх\?о,
Д ^ Io(xqXi12 + X0X2I1 + X1X2I0)
306
Глава IV
§о = E"Iq - э.д. с. источника. Внутри него электрическое поле направлено
противоположно току (Eq < 0).
Заряды, создающие это электрическое поле, возникают на границах раздела
проводников с разными проводимостями и могут быть определены с помощью
граничных условий; например, заряд на границе 01 равен
230. Рассмотрим, например, поток энергии через поверхность 0-го
проводника, в котором действует э. д. с. Магнитное поле вблизи поверхно-
о а
сти совпадает с полем бесконечно длинного прямого провода Н = =^г.
Вектор Пойнтинга 7 = ^:(Ео х Н) (Ео - напряженность электрического
поля в 0-м проводнике, направленная противоположно току, см., задачу
229), как легко убедиться, направлен из проводника по нормали к его
поверхности. Величина потока энергии через поверхность этого проводника,
следовательно, равна 27гНо7 = , где V = EqIq - разность потенциалов
на концах проводника. Величина $V представляет собой разность между
работой э. д. с. SJ (<э = Е"1о) и джоулевыми потерями в единицу времени в
самом источнике.
Энергия JV вытекает ежесекундно через наружную поверхность источника,
течет в окружающем проводники пространстве (в основном вне проводников) и
втекает внутрь 1-го и 2-го проводников через их поверхности, превращаясь
внутри этих проводников в джоулево тепло. В том, что общее количество
энергии, втекающей в 1-й и 2-й проводники за единицу времени, равно &V\,
•&V2, легко убедиться, рассмотрев вектор Пойнтинга так же, как выше.
