Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
распределения группы велика по сравнению с естественной шириной
спектральной
§3. Взаимодействие заряженных частиц с излучением
219
линии осциллятора 7. Скорость электрона d<c, Найти энергию, поглощенную
осциллятором из световой волны, учитывая торможение излучением. Как
сказывается на результате характер поляризации и направление
распространения волн, входящих в группу?
798. Найти полное количество энергии AW, поглощенной одно мерным
осциллятором с собственной частотой loq из группы волн со спектральным
распределением 5^,, в следующих трех случаях: а) линейно поляризованная
плоская группа волн, у которой направление колебаний вектора Б составляет
угол $ с осью осциллятора; б) неполяризованная плоская группа волн,
распространяющаяся под углом в к оси осциллятора; в) изотропное поле
излучения (на осциллятор с равной вероятностью падают плоские волны с
любым направлением поляризации и любым направлением распространения).
799*. Линейно поляризованная волна падает на изотропный гармонический
осциллятор. Скорость электрона !>Сс. Найти дифференциальное ^ и полное <т
сечения рассеяния волны с учетом силы лучистого
трения. Рассмотреть, в частности, случаи сильно связанного и слабо
связанного электрона.
800. Плоская электромагнитная волна, поляризованная по кругу,
рассеивается свободным зарядом. Определить рассеянное поле Н, исследовать
характер его поляризации. Найти дифференциальное ^ и полное <т сечения
рассеяния.
801. Неполяризованная плоская волна рассеивается свободным зарядом.
Найти степень р деполяризации рассеянной волны в зависимости от угла д
рассеяния.
802*. Линейно поляризованная волна рассеивается свободным зарядом. Заряд
движется с релятивистской скоростью v в направлении распространения
волны. Найти дифференциальное сечение рассеяния. Рассмотреть также случай
рассеяния неполяризованной волны.
УКАЗАНИЕ. Воспользоваться формулой (XII.26) и выразить v через Б, Н.
803*. Изотропный гармонический осциллятор с частотой loq, зарядом е и
массой тп помещен в слабое однородное постоянное магнитное поле Н.
Определить движение осциллятора. Исследовать характер поляризации
излучения осциллятора1.
1 Такой гармонический осциллятор представляет собой модель атома во
внешнем магнитном поле. В задаче, таким образом, предлагается развить
классическую теорию эффекта Зеемана.
220
Глава XII
§ 4. Разложение электромагнитного поля на плоские волны
Электромагнитное поле есть функция независимых переменных г, t. При
рассмотрении многих вопросов удобно пользоваться разложениями Фурье для
поля. Встречаются разложения следующих типов:
1. Разложение на монохроматические волны:
ОО
f(r,t)= J
- ОО
ОО
Ш = ± j f(T,t)e^dt.
-ОО
2. Разложение на плоские волны:
f(r,t) = J М1)е*-Г(с(к), (XII.40)
Л(0 = //(M)e-<k r(*). (XII.40')
Здесь / - какая-либо из компонент поля, (dk) = dkxdkydkz.
3. Разложение на плоские монохроматические волны:
/(М) = J /кше^г-^(Ок)с1и, (XII.41)
= (2^ / /(Г' dt- (ШО
Из уравнений Максвелла следует, что частота из является функцией
волнового вектора к. Уравнение, выражающее зависимость и) = а>(к),
называется дисперсионным уравнением. Вещественность компонент поля /(г,
t) приводит к соотношениям:
Л,=/-и, /k = /-k> ки = /-к,-*- (XII.42)
Формулами (XII.40), (XII.41) описывается поле во всем бесконечном
пространстве. Соответственно этому, интегралы в этих формулах
распространяются на все пространство волновых векторов и на все
координатное
(XII.39)
(XII.39')
§ 4. Разложение электромагнитного поля на плоские волны
221
пространство. Другая употребительная форма разложения на плоские волны,
при которой рассматривается поле в ограниченном объеме V, излагается во
многих руководствах, например, в [65], стр. 167 или в [29], гл. 1.
При использовании разложений Фурье весьма полезны бывают соотношения (П
1.15) и (П 1.14) из теории 5-функции. В частности, с помощью соотношения
(П 1.15) и формул (XII.42) могут быть доказаны формулы:
Разложение на плоские монохроматические волны играет большую роль в
квантовой электродинамике. Каждой такой волне в квантовой теории
сопоставляются фотоны - частицы, движущиеся со скоростью света с. Энергия
§ и импульс р фотонов связаны с частотой ш и волновым вектором к
соотношениями:
804. Доказать формулы (XII.43).
805. Найти связь между компонентами Фурье полей Б, Н и потенциалов А, <р
(рассмотреть все три варианта разложений Фурье).
806. Записать уравнения Максвелла относительно компонент Фурье для трех
вариантов разложения Фурье. Пространство заполнено однородной изотропной
диспергирующей средой с параметрами е{ш), ц{е), вообще говоря, зависящими
от частоты.
807. Записать уравнения Даламбера и условие Лоренца относительно
компонент Фурье для потенциалов А(г, t) и y>(r, t). Рассмотреть все три
варианта разложений Фурье. Пространство заполнено однородной изотропной
средой с параметрами е(ш) и
808*. Разложить по плоским волнам потенциал <р кулонова поля неподвижного
