Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
m3J2 exp (T1) = {т3р12 + ml'2) exp (-T1- в*), (5.14)
mp — эффективная масса тяжелых дырок, тр^ — масса легких дырок. Из (5.14) получим
т
1 + '
• (5.15)
4Я Из (4.46) и (5.15) для концентрации электронов в собственном невырожденном полупроводнике имеем
(YiA1V)91P /Ч, У'Т" / г, \
»-1 ^ t1 + (^j J (- а?) <5-16>
В случае Ge и Si во всех формулах (5.14) — (5.16) вместо тп входит эффективная масса плотности состояний md =(Nlm2±m ц )1/3. Соотношения
Pi + P2 = П, P2IP1 = (HipJmpiY* (5.17)
и (5.16) ПОЗВОЛЯЮТ определить Pi и р2 в отдельности.
2. Собственные полупроводники с нулевой запрещенной зоной— бесщелевые полупроводники (БИ), К таким полупроводникам относятся HgTe, HgSe (рис. 6), Cd1Hg1-X-Te при ж < 0,16 (рис. 7) и Pb1-^SnxTe при X = X0 (рис. 8). При T = 0 К в собственных БП носители заряда отсутствуют и уровень Ферми проходит через точку касания зон. При любых конечных температурах в них появляются носители заряда, а температурные зависимости концентрации и уровня Ферми определяются конкретной моделью соприкасающихся зон, поэтому, исследуя зависимость п = п(Т) в чистых БП, можно судить о применимости той или другой модели. Рассмотрим некоторые известные модели зон БП, , Допустим, что зона проводимости и валентная зона, края которых касаются в одной точке зоны Бриллюэна, параболичны с эффективными массами тп и тр. Тогда условие нейтральности при любой температуре будет иметь вид
mTFm (л) = m**Fm (-.ті). (5.18)
Поскольку /^3/2 (л) является МОНОТОННОЙ функцией Tl, то из (5.18) следует, что при тп < тр корень этого уравнения ті = ї|а > > 0, при тп >mv Tio < 0, а при тп = тр Ti0 = 0. Общим является то, что при любом значении отношения TnJmp решение (5.18) rI = rIo от температуры не зависит, т. е. уровень Ферми ? = кяТц0 независимо от значения эффективных масс всегда пропорционален Т. Тогда, подставляя ті = Ti0-const в (4.44), для температурной зависимости концентрации получим
(5.19)
JJl Ti
В чистых БП закон п ~ T3/2 наблюдается в довольно широкой области температур [10—13].
В случае, когда что имеет место в HgTe и HgSe,
в БП электронный газ можно считать сильно вырожденным, а дырочный — невырожденным, и приближенно можно найти решение (5.18) г| = т]о. Тогда для левой части (5.18) можно применять асимптотику (4.37), а для правой—(4.38). В резуль-
4 Б. М. Аскеров тате для приведенного уровня Ферми получим
т1о = 1п[(ЗУя/4) (тр/тп)т]-(3/2)Ыц0 .(5.20); или с логарифмической точностью при TTip > тп имеем
т)о ~ In[(ЗУзт/4) (Тор/Топ)3'2]. (5.21)
Следует отметить, что независимость т] от температуры и, следовательно, закон п ~ T3n связаны с параболичностью зоны проводимости и валентной зоны в БП. Теперь рассмотрим случаи, когда закон п ~ Тзп может нарушаться.
а) Зависимость, п ~ Т3'г может наблюдаться в a-Sn только при низких температурах, пока в L-минимуме зоны проводимости a-Sn не появляются электроны.
При более высоких температурах, когда и в L-минимуме появляются электроны, в a-Sn приведенный уровень Ферми должен определяться из условия Til + W2 = р, где Tii — йонцентрация электронов в Г-минимуме, а пг — B^ L-минимуме. В явном виде это условие пишется следующим образом:
m'n*Fa/t (ті) + Tn3J2F3l2 (ті - Ae*) = Tn3J2F3f2 (- T1), (5.22)
где TTid — эффективная масса плотности состояний в L-минимуме, Ae* = As/koT, Ae = 0,08 эВ — разность энергии между L- и Г' минимумами. Подставляя численное решение (5.22) при различных температурах в выражение типа (4.44), получим температурную зависимость концентрации. В области достаточно высоких температур эта зависимость должна быть скорее экспоненциальной, чем степенной.
б) Отклонение от закона п ~ T3lz может наблюдаться, если одна из зон, скажем, зона проводимости, как в HgTe и HgSe, непараболична. В этом случае, в силу (4.43), т] нужно определить из уравнения
m3J2Il%0 Ol, ?) = TTi3p 2F312 (- ті), (5.23)
где тпп — эффективная масса электрона на дне зоны проводимости, ? = k0T/eg, Es — энергетическое расстояние между дном зоны проводимости и потолком зоны легких дырок (рис. 6). Очевидно, численное решение уравнения (5.23) за.счет параметра ? будет зависеть от температуры, и, следовательно, зависимость п от T должна отличаться от закона п ~ Т3/г. Это отличие особенно заметно, когда зона проводимости в БП сильно непараболична, как это имеет место в Cd1Hg1-ITe с составом х = 0,16 (см. рис. 7). Если пренебречь легкими дырками, то уравнение нейтральности в этом случае, согласно (4.45) и (5.6), будет иметь вид
[ (к„Т) 3/2/ss]Ft (ті) = (2mp)3,zF s/2 (—ті), (5.24)
В предположении о сильном вырождении электронов в зоне проводимости и невырождении дырок, в силу (4.37) и (4.38), из
50 уравнения (5.24) с точностью до логарифмического члена для приведенного уровня Ферми получим
т1 = 1п[(ЗУя/4) (2то„«УВД3/і].
(5.25)
Подстановка (5.25) в (4.45) с учетом (4.37) для температурной зависимости концентрации электронов проводимости дает
M3
In3
3 У я [ 2mps'
,2 \ 3/2
Kt
(5.26)
Видно, что в этом случае зависимость п от T чуть слабее, чем п~Т\
