Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
РЕШЕНИЕ
Плотность тока между металлическими стенками J = U а/а. Вследствие взаимодействия тока в электролите с внешним магнитным полем на каждый из элементарных токов действует сила Лоренца, направленная горизонтально и параллельно метал-
1581 лическим стенкам кюветы. В результате любой объем электр0лита подвергается действию силы со стороны поля в указанно^ направлении.
Рассмотрим малый объем электролита вблизи его новерХНОСТИ (см. рисунок, на котором изображен разрез кюветы в плОСкости, параллельной металлическим стенкам). Силы, действующие на этот объем, таковы: его вес G, сила давления со стороны жидкости Fa (аналог силы Архимеда), направленная перпендикулярно поверхности жидкости в состоянии равновесия (см. задачи 59, 68, 70), и сила Fm, действующая со стороны поля. Если величина объема равна AF, то G = АУ pg, Fm = В] AF. (Пусть сечение выделенного объема равно A.S, а его длина в плоскости, перпендикулярной рисунку, AI. Сила К задаче 139.
тока, проходящего через объем, равна
AI = j'AS. Тогда сила, действующая со стороны поля, Fm = = AlBAl = BjAV.)
Так как объем находится в равновесии (электролит неподвижен), то в соответствии со вторым законом Ньютона G + Fa + + Fm = 0, откуда следует, что FmIG = tg а, где а — угол наклона поверхности электролита к горизонту.
Итак, tg a = BUa/pga, и при этом искомая разность уровней определяется выражением
Ah = Ь tg a = (b/a) (BUa/pg).
З А Д А Ч А 140 *
По двум длинным параллельным рельсам, расположенным в горизонтальной плоскости на расстоянии I друг от друга, скользит без трения металлический стержень массой тп. В одном конце рельсы через сопротивление В соединены с источником питания, э. д. с. которого равна е. Внутреннее сопротивление источника питания, а также сопротивления стержня и рельсов пренебрежимо малы по сравнению с R. Перпендикулярно к горизонтальной плоскости (см. рис. а) приложено однородное магнитное поле; ключ находится в положении 7, стержень при этом скользит с постоянной скоростью V0. В некоторый момент времени ключ К переводят в положение 2.
Что происходит со стержнем в дальнейшем?
1. Прекратится ли когда-нибудь его движение? Если да, то когда именно?
2. На какое расстояние он передвинется?
* Э. Парселл. Электричество и магнетизм. M., „Наука", 1971.
173 3. Какой заряд протечет через сопротивление R за все время движения стержня?
4. Выполняется ли закон сохранения энергии в данном случае? Подтвердите свой ответ расчетом.
РЕШЕНИЕ
Рассмотрим сначала процесс, происходящий при первом положении ключа К. Это позволит нам определить величину индукции магнитного поля В.
При равномерном движении стержня в замкнутом контуре возбуждается постоянная электродвижущая сила индукции, равная
a S
по величине скорости изменения магнитного потока через контур, т. е.
еинд = АФ /At = IBv0.
Текущий в контуре ток определяется на основании закона Ома
е~еаяя = I0R. (1)
Кроме того, известно, что мощность источника питания равна мощности тепловых потерь на сопротивлении R (это следует из закона сохранения энергии), т. е.
Bl0 = It0R. (2)
Уравнения (1) и (2) позволяют определить величину В и ток I0 в контуре. Уравнение (2) имеет два корня: — 0 и I02 = e!R. Подставляя эти значения в (1), убеждаемся, что при условии v0 =^ 0 и В =^=O нам подходит только корень I01 = 0 (второй корень соответствует случаю, когда стержень неподвижен или поле отсутствует). Следовательно,
В = e/lv0. (3)
Пусть ключ переведен в положение 2. При этом отключается источник питания. Тогда по закону Ома
V еинд = IRi (4)
1581 т. е. в начальный момент в контуре практически мгновенно возникает ток / такой, что
/ = еинд/Д = IBvlJR = e/R = I02. (5)
При этом на стержень начинает действовать со стороны магнитного поля сила, направленная в сторону, противоположную движению стержня (убедитесь в справедливости этого утверждения при любом направлении магнитного поля В, применяя правило левой руки). Скорость стержня падает и рано или поздно должна обратиться в нуль. Так как при этом ток в контуре исчезнет, то в дальнейшем стержень будет оставаться неподвижным.
Примем, что переброс ключа сделан в момент времени t = О, и рассмотрим процесс в некий произвольный момент времени Zi. Пусть в этот момент скорость стержня равна Vi, ускорение — «і, ток в контуре — Ii. Указанные величины связаны друг с другом, во-первых, законом Ома
IiR = IBvi, (6)
и, во-вторых, вторым законом Ньютона
Fi = Mai = IBIi. (7)
Из уравнений (6) и (7) определим связь между скоростью И ускорением стержня В момент времени Zi (любой)
Vi = MRaiKlBf. (8)
#
Отсюда видно, что ускорение тем меньше, чем меньше скорость, т. е. с течением времени стержень замедляется все в меньшей и меньшей степени. Поэтому можно ожидать что движение стержня продолжается немалое время.
Рассмотрим интервал времени Ati вблизи момента Zi (см. рис. б) настолько малый, чтобы можно было считать, что а{ = IAyi !/AZi, где Avi — изменение скорости в течение интервала Ati. При этом из (8) находим, что
