Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Способность свободно оперировать со скалярными и векторными величинами, в частности, умение дать физическое толкование каждому из векторов, встре-
* Так, например, напряженность поля E = (i[g) F —- вектор, давление р = FIjS — скаляр,
11 чающихся в задаче, в особенности необходимо в механике. Задачи по механике с этой точки зрения являются наиболее сложными и требуют безупречной логики. Многие задачи этого раздела подобраны специально для выработки соответствующих навыков.
ЗАДАЧА 2
По сторонам прямого угла AOB скользит стержень AB (см. рисунок). В момент, когда стержень составляет угол а со стороной OB, скорость точки А равна \а• а Чему равна в этот момент скорость точки Bl
РЕШЕНИЕ
Найдем проекцию Va на направление AB. Она равна величине Va sin айв то же время является проекцией скорости Vb на направление AB. Следовательно, vB = vA tg а.
I I
Vi
(- )
К'.У V2
I ¦ I
К задаче 2.
К задаче 3.
ЗАДА ЧА 3
На рис. а схематически изображен шарикоподшипник в разрезе. Требуется описать движение одного из шариков, если радиусы внешнего и внутреннего колец равны R1 и R2, а их угловые скорости — Co1 и Co2 соответственно. Проскальзывание между кольцами и шариками отсутствует.
РЕШЕНИЕ
Движение любого шарика можно представить как сумму двух движений: поступательного со скоростью v (при этом центр О шарика движется по окружности радиусом R = (R1 + Ri)/2) и вращения вокруг собственного центра О с угловой скоростью <й.
12 у m1-h1 -f w2-ti2
--Л,+Л, •
Тогда мгновенные скорости точек А и В шарика будут равны vA = V + (or, Vg — V — (0г, где г — радиус шарика, г = (R, — - Я,)/2.
В выписанных соотношениях знаки согласованы с предполагаемыми направлениями скоростей v и со, указанными на рисунке. Это не ограничивает общности ответа: при противоположных направлениях значения скоростей окажутся отрицательными.
Так как проскальзывания нет, скорости vA и vB должны быть равны мгновенным скоростям точек А и В внешнего и внутреннего колец соответственно, следовательно: W1-R1 = v -f- (or, (O2R2 = = v — (or, откуда находим, что
„ fflA +W2-R2 . O1Ri-O2Ri У =-2-; Ю= R1-R2 •
Вместо скорости V поступательного движения шарика можно найти угловую скорость а>0 вращения центра шарика О вокруг центра подшипника O1:
(O1R1 + CO2-R2 ^i +^2
Всегда полезно проверить ответ в тех простейших случаях, когда окончательный результат очевиден и без расчетов. Такими ситуациями в рассматриваемой задаче могут быть, например, следующие.
1. Скорости (O1 и (о2 таковы, что шарик вращается на месте. При этом, очевидно, vA = —V?, т. е. (O1R1 = —(O2R2. Из соотношения (2) также следует, что (о0 = 0.
2. Пусть (O1 = (о2. Кольца и шарики неподвижны друг относительно друга, они как бы склеены. Следовательно, должно быть, что (о = (O0 = (O1 = (о2, что и дают соотношения (1) и (2).
Известно, что прямую линию можно считать дугой окружности с бесконечно большим радиусом. Тарой подход дает возможность распространить полученные выше результаты на случай движения шарика, находящегося между двумя параллельными рейками (см. рйс. б). Для этого надо в формулах (1) заменить (O1)?! на V1, (O2R2 на v2, R1 — R2 на 2г (заметим, что в этом случае порознь взятые величины (O1, (о2, R1 и R2 не имеют физического смысла, но входящие в формулы (1) их комбинации обладают им). Тогда получим, что г; = (? v2)/2, (о = (^1 — V2)/2г.
ЗАДАЧА 4
На горизонтальной поверхности стола лежит катушка, которая может катиться по столу без скольжения. На внутренний цилиндр катушки намотана нитка (см. рисунок), конец которой тянут в горизонтальном направлении со скоростью v. Какова скорость оси катушки, если радиусы внешнего и внутреннего цилиндров равны R йт?
13 РЕШЕНИЕ
1-й способ. Движение конца нити С можно представить себе складывающимся из двух движений: движения вместе с осью катушки со скоростью V0 (как если бы нитка была закреплена в точке А, а катушка скользила бы поступательно) и движения с некоторой скоростью V1 в результате наматывания (или сматывания) нити на катушку, т. е. v — V0 ± V1, где знак плюс соответствует сматыванию нити.
Заставим катушку сделать один полный оборот и определим величину, на которую переместится конец нитки С. Очевидно, что в данном случае катушка катится вправо. За один оборот ось
катушки переместится на расстояние 2nR, причем на катушку намотается нить длиной 2nr. Таким образом,
V0 = v+v1 = v[i +
= v(i-\
2яг
2яЯ —2л г
R
R-
V////7777/7////////////
К задаче 4.
2-й способ. Качение катушки без скольжения по плоскости в любой момент можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси В. Это следует из того, что точка В катушки неподвижна. Таким образом, известно, что vB = О, vA = v. Следовательно, V0 — vR/(R — г), так как линейные скорости точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям этих точек до оси вращения.
При R = г ж V Ф 0 ответ теряет смысл. Поясним это. Пусть скорость центра катушки V0 задана. Тогда скорость конца нитки определяется соотношением V = [(R — r)/.R] v0, и при R -*-r V-*-О при любом значении скорости v0. При R — г конец нитки „не замечает", катится ли катушка, или она неподвижна. Следовательно, при R = г скорость конца нитки может быть равной только нулю. Из формулы V0 = vR/(R — г) при этом мы получаем, что V0 = 0/0, т. е. V0 не определена.
