Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
На концах и в середине невесомого вертикального стержня длиной I укреплены одинаковые шарики массой т каждый. Какую скорость будут иметь шарики в момент падения на горизонтальный стол, если: а) нижний шарик закреплен шарнирно; б) нижний шарик не закреплен, трение между столом и нижним шариком отсутствует.
РЕШЕНИЕ
а) Вся потенциальная энергия шариков превратится к моменту падения в их кинетическую энергию. Следовательно, mgl/2 + + mgl = mv\l2 + mv\!2, где V2 и V3 — скорости второго и третьего шариков в момент удара о стол (рис. а). Так как при закрепленном нижнем шарике v2 = v3/2, окончательно получаем, что
б) Незакрепленный нижний шарик не влияет на конечный результат, хотя процесс падения выглядит существенно иначе (рис. б).
В отсутствие сил трения на систему из стержня и трех шариков не действуют никакие внешние горизонтальные силы. Следовательно, во-первых, центр масс системы, совпадающий со средним шариком, движется только по вертикали (см. задачи 23, 32, 50), и, во-вторых, система не может приобрести импульс в горизонтальном направлении, т. е. конечная горизонтальная составляю-
= Gvl 2.
ЗАДАЧА 38
S3 щая скорости системы должна быть равна нулю. Так как первый шарик не имеет вертикальной составляющей скорости, его полная скорость в момент падения равна нулю.
О tZ
иО}
тп, Qz
//////?////// /7/W/////V//////////////
К задаче 38.
Соотношения между кинетической и потенциальной энергиями и между скоростями второго и третьего шариков в момент падения не отличаются от соответствующих соотношений для случая а), следовательно, окончательные результаты в обоих случаях одинаковы.
ЗАДАЧА 39
Через два неподвижных блока, находящихся на расстоянии 21 друг от друга, перекинута достаточно длинная невесомая нить,
/////////////////У////////
©та
///////у/////////////////*
Zm,
т.
К задаче 39.
к концам которой подвешены грузы с массами т. К середине нити между блоками подвешен груз массой 2т (см. рис. а).
Найти Скорости грузов по истечении достаточно большого промежутка времени.
64 РЕШЕНИЕ
Формулировка задачи предполагает, что по истечении достаточно большого промежутка времени скорости всех грузов станут постоянными (установившиеся скорости). Убедимся в этом, иначе попытки решать задачу могут оказаться бесплодными.
Когда средний груз опустится далеко вниз (нить допускает это, она „достаточно длинная!'), нити, ведущие к нему, сольются в одну (угол между нитями станет весьма мал) и будут практически вертикальны. Очевидно, что в таком положении вес среднего груза уравновесится весами крайних грузов, и, следовательно, все грузы будут двигаться без ускорений. Их движение будет происходить по инерции с установившейся скоростью и, одинаковой у всех трех грузов.
Столь же ясно, что в начальном состоянии вес среднего груза ничем не уравновешен, и, следовательно, система придет в движение. Пусть к какому-то моменту крайние грузы поднялись на высоту h каждый. Тогда длина любой из наклонных нитей от б^ока до среднего груза станет равной / + h (рис. б). Размерами блоков мы пренебрегаем.
Из чертежа видно, что средний груз опустится при -этом на расстояние Н, причем H = DB = AB cos a = (I + h) cos а.
Ha основании закона сохранения прирост кинетической энергии системы равен убыли ее потенциальной энергии. Уменьшение потенциальной энергии определяется выражением
А?7 = 2mg (I + h) cos а — 2mgk.
В пределе при а —0 cos а —1, следовательно,
IimAC/ = 2mgl. (1)
Кинетическая энергия грузов при установившемся движении такова, что
T = mv2/2 + mv2/2 + 2 mv2/2. (2)
Из соотношений (1), (2) находим установившуюся скорость » = (gl)1/2-
ЗАДАЧА 40
Какую мощность должен развить человек массой т, чтобы за время t подняться на высоту H по эскалатору, который движется со скоростью и под углом а к горизонту?
РЕШЕНИЕ
За врбмя t человек будет перенесен эскалатором на высоту h = vt cos ?, где ? — угол между вектором скорости движения эскалатора и осью Oy, направленной вертикально вЬерх (см. рисунок). (Если эскалатор движется вверх, ? = я/2—а, вг
3 Лщеулов С, В., Барышев В, А, — 1013
65 ? = я/2 + а, если эскалатор движется вниз.) В результате человеку самому придется подняться на высоту H — h = H — — vt cos ?. Совершаемая при этом подъёме работа А = (Н — і — vt cos ?) mg, а необходимая мощность У определяется выражением
N = A/t = rngH/t — mgv cos ?
при условии, ЧТО Hlt > V cos ?. Последнее всегда имеет место, если эскалатор движется вниз, так как при ? = зт/2 + a и 0 sg а sg n/2 cos ? < 0. Если эскалатор , " движется вверх, то при Hit =? V sin а К задаче 40. человеку для подъема за время T^t
достаточно стоять на месте, причем N= 0.
Если в такой задаче даны численные значения т, Н, t, vji а, найденную мощность следует сравнить с реальными возможностями человека. Для него должно быть N < 1 л. е., иначе полученный результат имеет чисто академический интерес.
З А Д А Ч А 41
Две однотипные ракеты, имеющие скорости относительно Земли 10 и 15 км/с, одновременно включили двигатели на одно и то же время. В результате скорости обеих ракет возросли одинаково, на 1 км/с каждая. Рассмотрим увеличение кинетической энергии каждой ракеты (для удобства в необычных единицах: т км2/с2, где т — масса ракеты):
