Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
в результате исследования всех возможных вариантов движения тел. В нашей задаче возможны такие случаи движения:
1. A1, а2 = 0, т. е. оба тела неподвижны.
2. Cil = 0, а2 Ss 0 (доска неподвижна, брусок скользит по доске).
3. A1 = а2 = а Э= 0 (тела скользят по наклонной плоскости, оставаясь неподвижными друг относительно друга).
4. а2 ^ Cil Si 0 (тела движутся с различными ускорениями, причем брусок опережает доску).
5. Ctl Si а2 Si 0 (тела движутся с различными ускорениями, причем брусок отстает от доски).
Отрицательные значения проекций ускорений, очевидно, невозможны (впрочем, это можно и доказать).
Нетрудно убедиться в том, что в каждом из указанных случаев движения система (1), (2) дополняется двумя необходимыми для ее решения4 уравнениями (например, в случае 4 нам известны значения обеих сил трения). После этого можно приступить к решению системы, рассматривая варианты движения по отдельности. При этом мы обязаны не только получить выражения для искомых проекций ускорений ах и Oi в каждом из случаев, но и указать,
О
^rh- «Я* щ +щ »
К задаче 31.
55 при каких значениях исходных параметров задачи (т. е. Tre1, т2, Z1, /2 и а) осуществляется тот или иной тип движения.
1. Из уравнений (1), (2) при O1 = O2 = 0 находим величины сил трения покоя: F1 = (In1 + т2) g sin a, F2 = m2g sin а. Так как значения сил трения покоя удовлетворяют очевидным неравенствам
Л fiQi= /і + cos а, (5)
F2 ^ f2Q2 = f2m2g cos а, (6)
то рассматриваемый случай имеет место, если
Z1Sstga, /2 Satga. (7)
2. Сила трения между бруском и доской является силой трения скольжения, F2 = f2m2g cos а, что позволяет найти величину а2 из уравнения (2):
а2 = g (sin a — /2cos a). (8)
Определив из (1) величину F1 и использовав неравенства (5) и я2^0, получим условия, при которых выполняется случай 2:
fI^mi T^rnm2h' (9)
mI 1 т2
3. Сила трения между доской и наклонной плоскостью является СИЛОЙ трения скольжения, F1 = Z1 (Tn1 jT т2) g cos а, что позволяет определить из уравнений (1), (2) искомую проекцию ускорения а:
a = g (sin a — Zi cos a). (10)
Так как справедливы неравенства (6) и eis 0, то получаем,
что
Zi^Stga, Z2^Zi- (И)
4. Обе силы трения являются силами трения скольжения,
— /i (mi + mi) g cos a, F2 = f2m2g cos a, так что искомые проекции ускорений могут быть найдены из системы (1), (2) и определяются выражениями
ах = g sin a + ^2 (Z2 - Zi) g cos a,
rft-y
a2 = g (sin a — Z2 cos a).
Используя неравенства % 0 и Ci2^a1, находим, что
, TU1Jga-Km2Z2 , , ..„.
5. Обе силы трения также являются силами трения скольжения, но проекция силы трения между бруском и доской отрицательна (т. е. ее направление противоположно указанному на рис. a), F2 = — f2m2g cos а. При этом из неравенства а2 > О следует, что Z2 < 0, что физически бессмысленно. Следовательно, такого движения в действительности быть не может.
г*.
56
(12) Окончательный ответ выглядит следующим образом: если выполняются неравенства (7), то оба тела неподвижны; если справедливы неравенства (9), то ах = 0, а2 определяется равенством
(8); если справедливы неравенства (11), то ускорения тел одинаковы и определяются равенством (10); если справедливы условия (13), то ускорения тел определяются равенствами (12).
Полезно представить результаты исследования в графической форме. Изобразим области, соответствующие неравенствам (7),
(9), (11) и (13), в прямоугольной системе координат Д, /2 (рис. б). (Неравенству (7) соответствует область I и т. д.) Как видно из рисунка, все возможные значения пар положительных чисел Z1 и /2 обязательно попадут в одну и только в одну из построенных областей, что доказывает полноту и однозначность полученного решения. (На линиях, разграничивающих области, поведение брусков неоднозначно — см. задачу 20.)
Укажем на одно очень распространенное заблуждение. Школьники часто считают, что если в ответе на задачу не учтен какой-то из возможных случаев, то такой ответ является „неполным" (т. е. верным, но не безупречным). Подчеркиваем, что любой „неполный" ответ является неверным.
Представьте себе, что ваш приятель обратился к вам с просьбой дать ответ на задачу, которую он сам решить не может. Например он спрашивает у вас, когда приходит поезд из Минска, и узнает, что поезд приходит в 10 ч. Действительно, такой поезд есть. Но есть еще поезд, прибывающий в 9 ч; именно на нем и приехали знакомые вашего приятеля, которых он хотел встретить. Таким образом, предложив приятелю „неполный" ответ, вы ввели его в заблуждение *.
ЗАДАЧА 32
Сфера, масса которой равна нулю, лежит на горизонтальной подставке, причем трение между подставкой и сферой отсутствует. К поверхности сферы прикреплена материальная точка M. В исходном положении сфера находится в состоянии неустойчивого равновесия, т. е. материальная точка занимает самое высокое положение. Как будут двигаться сфера и точка, если их вывести из состояния равновесия?
* Современные научные и технические проблемы, как правило, настолько сложны, что далеко не всегда удается получить решение во всей области изменения исходных паіраметров. При этом типичный результат выглядит, например, так: х (искомая величина) определяется таким-то уравнением, если а < 1 (а — параметр). Такой ответ, разумеется, не является неверным: указанное ограничение (а 1) обычно формулируют с самого начала и вводят в условия задачи.
