Теория катастроф - Арнольд В.И.
ISBN 5-02-014271-9
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим простейший случай пути, состоящего иь начального и конечного отрезков прямой с отрезком гео^ дезической между ними. Близкие геодезические пучка заполняют на поверхности препятствия некоторую об-ласть. В каждой точке этой области геодезическая пучке имеет определенное направление. В точках общего положения это направление не асимптотическое. Условие касания геодезической пучка с асимптотическим направлением — это одно условие на точку поверхности. Для по-
Рис. 70. Кратчайший путь в обход препятствия
66 верхности и пучка общего положения это условие выполняется на некоторой кривой на поверхности (зависящей от пучка). На рис. 71 асимптотические направления изображены горизонтальными отрезками, а кривая касания обозначена буквой К\ геодезические — жирные линии.
В отдельных точках (0 на рис. 71) эта кривая К сама будет иметь асимптотическое направление — это точки пересечения К с кривой й перегиба асимптотических (см. и. 12).
Таким образом возникает двупараметрическое семейство путей: один параметр нумерует геодезические линии пучка, другой — точку срыва касательной, уходящей с поверхности препятствия. Вдоль каждого пути определена функция времени (отсчитываемая от начальной точки х). Время достижения конечной трчки у по такому пути определено не однозначно (в одну конечную точку может вести несколько таких путей), и вдобавок не все ваши пути обходят препятствие.
Тем не менее ясно, что исследова- Рнс- 71 • Асимптотиче-
„ , ские направления и ти-
Line полученной многозначной фун- пичный пучок геоде-кцпи времени составляет необхо- зических на поверхности димый этап изучения особенностей системы кратчайших путей.
Расположим за препятствием еще одну поверхность (стенку) общего положения и рассмотрим отображение срыва поверхности препятствия на стенку, сопоставляющее каждой точке препятствия точку пересечения срывающейся в ней касательной к геодезической пучка со стенкой.
Когда стенка удаляется на бесконечность, отображение срыва переходит в гауссово отображение пучка\ каждой точке поверхности препятствия сопоставляется точка единичной сферы, а именно конец вектора длины 1, параллельного касательной к геодезической.
Отображение срыва и гауссово отображение пучка имеют особенности в точности на той линии, где направление геодезической пучка асимптотическое. Эти особенности оказываются складками в общих точках и сборками в особых точках, где направление кривой асимптотическое (О. А. Платонова).
Многозначная функция времени также имеет особенность в точкахл соответствующих асимптотическому срыву.
3* 67 При подходящем выборе системы гладких координат функция времени приводится К ВИДУ T = X — у5/» в окрестности общей точки особой поверхности у = 0. Иными словами^ если отметить на каждом срывающемся луче точку, отвечающую пути длины T1 то эти точки образуют поверхность
Рис. 72. Типичная особенность Рис. 73. Типичная особеп-
фронта в задаче об обходе ность эвольвенты плоской кри-
ирепятствия: ребро возврата вой — клюв степени 5/2 на
степени 5/2 касательной перегиба кривой
фронта с ребром возврата, локально задающуюся уравнением X2 = уь (рис. 72).
Аналогичный результат получается в плоской задаче (в этом случае фронты называются эвольвентами и имеют особенность типа х2 = у6 в точках касательной перегиба (рис. 73)).
Фронт пространственной задачи в особой точке (точке сборки гауссова отображения пучка) локально задается уравнениями
х = и, у = V8 + UV, Z = (135г;4 + 189wi>2 + 10u2)v3,
где (и, v) — параметры, (х, у, z) — криволинейные координаты в пространстве с началом в не лежащей на поверхности препятствия точке особого асимптотического луча.
14. СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ И КОНТАКТНАЯ ГЕОМЕТРИИ
Многие вопросы теории особенностей (например, классификация особенностей каустик и волновых фронтов^ а также исследование всевозможных особенностей в задачах оптимизации и вариационного исчисления) становятся понятньіми только в рамках геометрии симплекти-ческих и контактных многообразий, освежающе непохожей на обычные геометрии Евклщи^ Лобачевского и Ри-мана,
68 Начнем с трех примеров особенностей специального кида.
1. Градиентное отображение. Рассмотрим в евклидовом пространстве гладкую функцию. Градиентным отображением называется отображение, сопоставляющее точке значение градиента функции в ней. Градиентные отображения — весьма специальный класс отображений пространств одинаковой размерности.
Особенности градиентных отображений общего положения отличны от общих особенностей отображений пространств одинаковых размерностей: их «меньше» потому, что не всякое отображение можно реализовать как градиентное, но «больше» потому, что явление, не типичное для общих отображений, может быть типичным для градиентных.
2. Нормальное отображение. Рассмотрим множество всех векторов нормалей к поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Сопоставим каждому вектору его конец (вектору р, приложенному в точке q, сопоставляем точку р + q). Мы получаем отображение трехмерного многообразия векторов нормалей в трехмерное пространство (тг-мерного в и-мерное, если начать с подмногообразия любой размерности в тг-мерном евклидовом пространстве).
