Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Дифференциация понятия массы привела в последнее время (Bondi, 1957; Тредер, 1973) к необходимости различать «тяжелую пассивную» и «тяжелую активную» массы и поставила новые
12проблемы: экспериментально определить отношение численных значений пассивной и активной тяжелых масс и теоретически объяснить возможное их равенство или неравенство. Как бы то ни было, разделение массы на тяжелую и инертную стимулирует постоянное повышение точности измерения их отношения со времен Ньютона до наших дней (см., например, обзор в книге С. И. Вавилова, 1928). Наибольшая точность 5-Ю-9 была достигнута в опытах с крутильным маятником, предложенным для этой цели Этвешем (Eotvos, 1896). В современных вариантах этого опыта граница возможного неравенства инертной и тяжелой масс понижена до 10~11 (Roll, Dicke, Krotkov, 1964) и 0,9-10"12 (Брагинский, Панов, 1971).
Независимо от теоретической интерпретации данные опыта всегда сохраняют самостоятельное значение. Опыт Этвеша заключается в следующем. Пусть if j и А— тройка ортонормирован-ных векторов, таких, что і направлен по касательной к меридиану север — юг, a k — по вертикали от поверхности Земли. Земля предполагается однородной и шаровидной (M9 /?, ш — масса, радиус и угловая скорость вращения Земли, <р — широта места).
На некоторое тело в данной точке Земли действует сила Fj складывающаяся из притяжения тела к центру Земли, пропорционального тяжелой массе mg% и центробежной силы, пропорциональной инертной массе т1п тела:
гГ mgM( і min ^R3 cos' ф \ 7 . or> . t
b = -T-J?^1 --ЇЛ* J* + ™/n^sin?coscp*.
Пусть теперь к концам свободно подвешенного на нити стержня с равными плечами I прикреплены два тела 1 и 2, на
которые, следовательно, действуют силы Fx и F2. Действие этих
сил сводится к появлению моментов M1 и M2
Mi = {{тш)г [тім)2} "2W sin cPcos cPsin P Ь
M2 = ((Bec)1 — (Bec)2) I (sin ft -cos fj)
относительно точки подвеса стержня, отклонению нити подвеса от вертикали и, наконец, к упругим продольным и поперечным
деформациям стержня. Здесь ? — угол между і и единичным
вектором п, направленным вдоль оси стержня от тела 2 к телу 1 (азимут направления тело 2 — тело 1);
в—
13Из формулы видно, что ЛЇ2 обращается в нуль в том и только том случае, если
(Bec)i=(Bec)2.
В этом и состоит смысл равенства весов двух тел — отсутствует момент сил вдоль горизонтальной оси, перпендикулярной к стержню в точке подвеса.
Если Ttiinltng — универсальная постоянная, то из равенства весов обоих тел, изготовленных из различных материалов (веществ), следует равенство их масс, как тяжелых, так и инертных. Если же Hiinlmg зависит от вещества исследуемых тел, то при равенстве их весов остается отличным от нуля крутящий момент Mw который уравновешивается упругим моментом закручивающейся нити. Направление закручивания нити при перестановке тел меняется на противоположное, поэтому
M1 (2 - 1) - M1 (1 - 2) = 2 {{min)r [rnIn)о} ^2Rl sin ? cos ? sin ? k.
Угол закручивания нити при перестановке тел и измеряется в опыте Этвеша. Он имеет наибольшее значение, если стержень расположен вдоль широты, и равен нулю, когда вся система находится в плоскости меридиана.
На тела крутильного маятника, помимо силы F, действует еще и притяжение Солнца, по порядку величины сравнимое с центробежной силой (притяжение тел Луной значительно слабее солнечного). Крутящий момент, обусловленный действием Солнца, пропорционален разности тяжелых масс (при равенстве весов!), тел крутильного маятника и в отличие от крутящего момента, обусловленного центробежкой силой, имеет наибольшее значение по абсолютной величине на восходе и закате Солнца, если маятник расположен в плоскости меридиана. Благодаря суточному вращению Земли расположение тел маятника относительно Солнца на закате и на восходе отличается перестановкой 1 ^z: 2, а значит, меняется на противоположное направление закручивания нити.
В соответствии с этим опыты Этвеша осуществлялись в двух вариантах: 1) широтное расположение маятника — измерялся угол закручивания нити при перестановке тел маятника местами, пропорциональный Ат^т; 2) меридиональное расположение маятника — измерялось изменение угла закручивания нити на закате и восходе, пропорциональное AmgIm. Этвеш, Пекар и Фекети (Eotvos, Pekar, Feketi, 1922) измерили величину А т/т в обоих вариантах, а Ролл, Дике, Кротков и Брагинский, Панов — во втором.
Проекция сил Fі и F2 на горизонтальную плоскость не ограничивается парой, создающей момент М\. В направлении, перпен*
14дикулярном стержню, на каждое тело действуют, кроме того, равные силы
т {(^Д + (mIn)Ijш2/? sin ? cos ?sin P ^sin P ^cos P^)'
а вдоль стержня —
(mZn)1 sin ? cos ?cos P ^cos Рг + sin P•/)
(//г/л)2 a)2/? sin 9 cos <р cos ? (cos ? і+ sin ?y)
соответственно. Первые силы компенсируются компонентом натяжения нити благодаря упругим силам возникающей симметричной относительно точки подвеса деформации изгиба стержня, остальные также уравновешиваются соответствующими компонентами натяжения нити благодаря упругим силам продольной деформации стержня. Если на отрезке тело 1 — точка подвеса