Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Решение второй задачи в классе аналитических функций дается теоремой Ковалевской (Петровский, 1953), согласно которой уравнения удовлетворяются единственной системой аналитических функций, совпадающих на данной аналитической гиперповерхности с заданными аналитическими же функциями. Что касается класса неаналитических функций, непрерывных вместе с первыми производными, то здесь существует ряд достаточно общих теорем, хотя вопрос этот в наиболее полном объеме математиками еще не исследован.
Если заданная гиперповерхность такова, что не все производные искомых функций определяются данными Коши и уравнениями (1.11), то гиперповерхность называется характеристической. В случае характеристической гиперповерхности уравнения допускают решения с разрывом производных на ней и наоборот, решения дифференциальных уравнений имеют скачки производных на заданной гиперповерхности, если она характеристическая. Характеристическая гиперповерхность дифференциальных уравнений в частных производных имеет непосредственный физический смысл, так как фронт распространяющегося физического процесса является двумерным сечением характеристической гиперповерхности, отнесенным к данному моменту времени. В непосредственной близости за фронтом имеет место описываемый физический процесс, в то время как перед фронтом физического процесса нет, так что некоторые производные функций, описывающих процесс, терпят на фронте разрыв. Следовательно, семейство
25 движущихся фронтов (движущихся поверхностей разрыва) составляет характеристическую гиперповерхность. Иногда мы будем называть фронтом саму характеристическую гиперповерхность, а не ее сечение, что будет ясно из контекста.
Если заданная гиперповерхность характеристическая, то решением уравнений Максвелла — Лоренца являются кусочно-гладкие функции класса С1. (Кусочно-гладкими функциями класса Cr называются функции с непрерывными всюду производными вплоть до порядка г за исключением окрестностей конечного числа гиперповерхностей, с каждой стороны которых функции принадлежат классу Cr, а их производные вплоть до порядка г равномерно стремятся к определенным, но различным пределам). Поэтому производные тензора электромагнитного поля терпят разрыв на характеристической гиперповерхности. Изотропная и только изотропная гиперповерхность является характеристической гиперповерхностью уравнений Максвелла — Лоренца.
Теорема 5. Распространение фронта электромагнитной волны описывается уравнением
ди> дт
(1.13)
Доказательство. Пронумеруем компоненты тензора электромагнитного поля в следующем порядке: Foi = Fu F02 = F2t Fos = F3f Fi2 = F4t F2z = Fs и F3I = F6 и перепишем уравнения Максвелла — Лоренца в виде
6 dF
= 1.2,..-,8. (1.14)
Ь=1
Здесь функции Фа зависят от метрического тензора и его производных, от 4-вектора плотности электрического тока и тензора электромагнитного поля, но не зависят от производных тензора электромагнитного поля, а коэффициенты Aab содержат только компоненты метрического тензора. Введем прямоугольную мат-
Ла до) г* г* ди> аЗ а
, ^ —'. Если обозначить — = ш и g —0- = ш , то
1 * аЬ дх* дха 6 дх?
в явном виде матрица запишется так:
0 0 0 (U3 0), (U2 '
0 -(O3 (U2 0 —ш0 0
ш3 0 —U), 0 0 -Ш0
-(U2 ш. 0 -(U0 0 0
(U1 О)2 (D3 0 0 0
-(U0 0 0 CU2 0 -(D3
0 -(U0 0 -(U1 (U3 0
0 0 -(U0 0 •> — (U- -1J
26 Гиперповерхность (о = 0 является характеристической, если ранг этой матрицы не превышает пяти*. Но все ее детерминанты шестого порядка тождественно равны нулю за исключением одного, составленного из строк с номерами 2, 3, 4, 6, 7 и 8, значение
которого равно ш0ш° (. Ни са0, ни не могут быть равны
нулю, так как в противном случае уравнение гиперповерхности
выродится В тождество. Действительно, пусть (I)0 = O, Т. е. =0.
Поскольку сам вывод не зависит от системы координат, то в другой, например, штрихованной, координатной сетке также
до/ (xf) ~ TJ имеем о = Но
д* (х) до) дха _ , дх^__
дх'" "" дх* 'дх'° ~ ^0 дх'° + дх'°
(греческие индексы пробегают значения 1, 2, 3). Из равенства
до/ (х') дх1 ~
нулю % и -г-1- и произвольности —5 следует (O. = 0, что
дх дх
невозможно. Аналогично можно показать, что и о)°^0.
Следовательно, только в том случае, если гиперповерхность удовлетворяет уравнению (1.13), все детерминанты шестого порядка обращаются в нуль, а гиперповерхность является характеристической.
Скачки производных тензора электромагнитного поля, равные разности производных с обеих сторон характеристической гипер-
поверхности, которые принято обозначать через циональны 4-вектору нормали к гиперповерхности
ди>
0Il.
дха
пропор-
0Il
дх*
= kH
b дх*
а коэффициенты пропорциональности являются корнями системы алгебраических уравнений
SffleA = 0-
Ь=1
Если ранг матрицы равен 6, то все kb равны нулю, а производные тензора электромагнитного поля непрерывны на гиперповерхности. Дальнейший анализ характера разрыва электромагнитного поля на фронте возможен, если конкретизирована система отсчета и
