Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим в окрестности ^0 (хо) десять событий Pa ^ +
+ id)Cfl)^, а = 1, 2, ... , 10 и введем обозначения: ds(P0, Pa) = = еа ' еа — + 1 (или 1 )• если соответствующий интервал пространственно^ или временно-) подобный; (dx*)2a = у\ >(dxl)2a = = Л. (d^2)I - у: . (dx3)l = УІ, (dx°dx\= УІ, {dx°dx\ = УІ , (dx«dx\ = yl, {dxW-ylJdJdjfl-УІ, (dx3dx\ = yi:;
S00 == &V Sn = S2» S22 == S33 = 2Soi = s*5» ^g02=S6, 2So3 »
2Sn = Ss* 2^23 = Sv 2Sai = SrIO- Предположим, что, по крайней мере, один из десяти интервалов не изотропный. Будем называть одиннадцать событий P0, Pa независимыми, если детерминант
54 квадратной матрицы ^ у*) отличен от нуля. Согласно аксиоме
Эйнштейна, интервалы Z2a связаны с координатами событий Pd алгебраическими уравнениями, которые в этих обозначениях имеют вид
s=*.y; • (1-43)
Так как события независимые и хотя бы для одного из них ?2 =?0, то неоднородная система линейных алгебраических уравнений (1.43) имеет единственное решение
у;1*. (1-44)
где (у-1) — матрица, обратная (у).
Существование одиннадцати независимых событий доказывается примером простейшего набора событий P0P1 \dx°% 0, 0, 0}, P0P2 (0, dx\ 0, 0,} P0P3 (0, 0, dx\ 0}, P0P4 {0, 0, 0, dx*\% P0P5 \dx\ dx\ 0, 0}, P0Pc іdx\ 0, dx\ OK P0P7\dx\ 0, 0, dx*\% P0P8 {0, dx\ dx2, 0), P0P9 (0, 0, dx\ djc3), P0P10 {0, dx\ 0, rf*3}, через координаты которых и соответствующие интервалы выражается, согласно (L44), метрический тензор
Sm=-ZKdxJl, gn = i/W)l ,
<r - 1 ( Г2 (dxi)s I f2 {dX% 1
<r if еЛ Г2 <***)« , (ax\ I
^02 2 I (dx°dx% ** {dx\(dx% {dx\{dx»)\ (•
. '[ «7 5 г» , g» I
^03" 2 J(^W)7 (^7Ux3)* {dx%(dxn)\ (•
p- - 1 ( ^ g» I
Sl2 2\(dSdx\ 3 (dxl)t(d*)\ (At2)8(^r1)22J'
_ = _L f ^ _ f2 (<**')» _ .2 )
g* 2 I (dx~dx3)9 ^ (dxJ)9(dx>)24 :i ldx*)9(dx2)! )'
?r = J_ _ P2 _ g2 1
2 \{ax*dx*)w * (dxl)10{dx3)l K4dx*)w{dS)\ '
Лемма 3. Если заданы десять интервалов (P0, Pa) между одиннадцатью независимыми событиями P0f Pat то метрический тензор физического мира в точке P0 является линейной однород-
55 ной формой (1.44) квадратов заданных интервалов, коэффициенты которой — определенные функции разности координат событий.
Замечание. Независимость одиннадцати событий P0, Pa означает, что они не принадлежат изотропной гиперповерхности. Предположим обратное. Тогда все интервалы ?а равны нулю, а система уравнений (1.43) имеет только нулевое решение, если детерминант матрицы (у) не равен нулю, что противоречит аксиоме Эйнштейна.
На теореме 10 и лемме 3 покоится существование метода измерения метрики физического мира, имеющего принципиальное значение. Он сводится к выбору десяти событий Pa в окрестности события P0, принадлежащей области применимости формулы (1.42), которые вместе с Po образуют набор независимых событий, и измерению соответствующих собственных времен на мировой линии любой частицы, содержащей событие P0- Тогда числа, являющиеся результатом измерения, выражают с помощью формул (1.42) и (1.44) компоненты метрического тензора в точке P0 физического мира. Измерение метрики, следовательно, заключается в определенных измерительных операциях, независимых от метрики мира и строго локализованных на мировой линии измерительного прибора. Используемые световые линии не нарушают локальности измерения, так как в процесс непосредственного измерения вовлекаются только события пересечения их с мировой линией прибора, которые полностью определяются мировой линией прибора и событием отражения световой линии, но не зависят ни от конструкции прибора, ни от принципа измерения собственного времени. Принципиальная осуществимость такого измерения метрики переводит аксиому Эйнштейна из категории математических в категорию физических утверждений в том смысле, что метрическому тензору в каждой точке мира ставится в соответствие десять экспериментальных чисел, зависимость которых от априорных представлений о метрике ограничивается аксиомой 1. Поэтому справедливость аксиомы Эйнштейна поддается непосредственному экспериментальному контролю.
Итак, измерение метрики в окрестности данного события сводится к измерению собственного времени на какой-либо мировой линии, содержащей это событие. Поскольку существует множество событий, не принадлежащих данной временноподобной мировой линии, то для измерения метрики в окрестности всех событий некоторой конечной области мира необходимо, чтобы мировые линии измерительных приборов плотно заполняли измеряемую область. Непрерывное множество непересекающихся (или пересекающихся в конечном числе точек) временноподобных мировых линий, плотно заполняющих некоторую область физического мира и снабженных в каждой своей точке прибором для измерения собственного времени, будем называть (вслед за Вигне-ром) моллюском Эйнштейна.
І6 Теорема 11. Измерение метрики в окрестности любого события физического мира можно свести к измерению только промежутков собственного времени измерительного прибора, мировая линия которого содержит это событие, а измерение метрики как функции события заданной конечной области мира сводится к измерению метрики в окрестности события каждой мировой линии произвольного моллюска Эйнштейна.
