Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Напомним, что действие полюса О на элемент ds, находящийся на расстоянии г от точки О, нормально к плоскости О ds к равно по величине
ds , . . ч — sin (г, ds).
28. Среди кривых, проведенных на заданной поверхности S между двумя точками, рассматриваются те кривые С, которые обращают в минимум
интеграл I= J<fds, т. е. кривые, которые были определены в п. 149.
Показать, что при переходе от какой-нибудь такой кривой AB к бесконечно близкой кривой ^l1B1, лежащей на поверхности, вариация интеграла по-прежнему определяется формулой Тэта и Томсона. Вывести отсюда такие же следствия, как и для кривых С в пространстве (п. 147).
29. В плоскости гОх рассматриваются цепные линии, имеющие основанием ось Ox и пересекающие нормально заданную кривую С. На каждой из этих цепных линий от точки А, в которой она пересекает кривую С, откладывается дуга AB такая, что она описывает при вращении вокруг оси Ox определенную площадь S. Доказать, что геометрическое место точек В есть кривая С', нормальная к каждой цепной линии. (Приложение теоремы Томсона и Тэта.)
30. Даны две неподвижные точки А и В и неподвижные поверхности Si, S2, Sp (рис. 103, п. 150). Рассмотрим точки P1, P2, ..., Pp, которые могут скользить без трения по этим поверхностям. Допустим, что первая точка Р\ притягивается к точке А постоянной по величине силой л и к точке P2 постоянной по величине силой H1; вторая точка P2 притягивается к точке P1 ПОСТОЯННОЙ СИЛОЙ H1 и к точке P3 ПОСТОЯННОЙ СИЛОЙ H2 и т. д. Доказать, что положением равновесия системы является путь светового луча, идущего от А к В и подчиняющегося законам преломления, указанным в тексте.
31. Доказать, что путь AP1P2... PpB светового луча от А к Bno законам преломления (п. 150) совпадает с фигурой равновесия веревочного многоугольника, вершины которого А и В закреплены, а вершины P1, P2, .. .,Pp могут СКОЛЬЗИТЬ без Трения ПО поверхностям Si, S2, ..., Sp и для которого натяжение стороны PftPft+1 равно nft. (Другая форма условий предыдущей задачи.)
32. Если вдоль кривой (п. 146), соединяющей точки А и В, функция у(х, у, г) принимает положительные и отрицательные значения, то интеграл {щ
J tp (х, у, г) ds, W
взятый по этой кривой, не может быть ни максимумом, ни минимумом. (Вейерштрасс. См. заметку Кобба Annales de Ia Faculte des Sciences de Toulouse, 1891). ГЛАВА VIT. ИЗМЕНЯЕМЫЕ. СИСТЕМЫ
207
33. Пусть А и В — две точки, из которых одна расположена выше, а другая ниже плоскости хOy. Если среди кривых, соединяющих эти две точки, искать ту, которая обращает в максимум или минимум интеграл
(В)
J
(А)
где п — целое положительное четное число, то получится, что эта кривая состоит из двух перпендикуляров AA' и BB', опущенных из точек AnB на плоскость хОу и из прямой А'В'.
34. Рассмотрим функцию <р (х, у, г), конечную и непрерывную в области пространства, расположенной по одну сторону от некоторой поверхности S, на которой эта функция принимает постоянное значение k. Пусть If1 (дг, у, г) — — другая функция, конечная и непрерывная по другую сторону этой поверхности S и принимающая на ней постоянное значение A1. Пусть, наконец, А — точка в первой области, а В — во второй. Найти, какой кривой нужно соединить эти две точки, чтобы получить максимум или минимум для интеграла
(P) (В)
I— J ? (х, у, г) ds + J ?! (х, у, г) ds,
W (P)
где P — точка пересечения искомой кривой с поверхностью S.
(дуги AP и BP являются кривыми, образующими, соответственно, первый
и второй интегралы в максимум или минимум; касательные t и ^1 к этим кривым в точке P лежат в однфй плоскости с нормалью к поверхности 6 в той же точке и образуют с этой нормалью углы I и I1, для которых sin і__A1^ \
SinZ1 k '}
35. Если дугу AP перемещать нормально к некоторой поверхности 2, которую она пересекает в точке А, и если на кривых AP и BP предыдущего упражнения отложить такие дуги, что интеграл I будет иметь постоянное значение, то геометрическим местом точек В будет поверхность S1, нормальная к дугам PB. (Это свойство доказывается при помощи соотношения Тэта и Томсона (п. 147), которое надо последовательно применить к вариации каждого из обоих интегралов, составляющих i.)
36. Упругий прямолинейный вертикальный стержень, находящийся в естественном состоянии, имеет заделанный конец А. Другой его конец В подвергается действию вертикальной силы Т. Каков предел силы Т, начиная с которого стержень изгибается? ГЛАВА VIII
ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ СКОРОСТЕЙ
155. Исторический обзор. Принцип возможных скоростей применялся Галилеем в теории некоторых простых машин и затем Валлисом в его «Механике». Декарт пользовался правилом, похожим на правило Галилея, для того, чтобы свести всю статику к одному единственному принципу. Но (цитируем дословно Лагранжа) «Иван Бернулли был первым, понявшим общность принципа возможных скоростей и его полезность для решения задач статики. Это видно из одного из его писем к Вариньону, датированного 1717 годом, которое последний поместил в начале девятого раздела своей «Новой Механики», раздела, целиком посвященного доказательству справедливости для различных приложений принципа, о котором идет речь, и посвященного его использованию. Этот же принцип привел впоследствии к появлению другого принципа, предложенного Мопертюи в 1740 г. в M6moires de Г Academie des Sciences de Paris под названием «Закона покоя», и развитого затем в более общей форме Эйлером в 1751 г. в Memoires de l'Acad6mie de Berlin. Наконец, этот же самый принцип лежит в основе принципа, данного Куртивроном в M6moires de l'Acad6mie des Sciences de Paris за 1748 и 1749 гг. И вообще я считаю возможным утверждать, что любой общий принцип, который, быть может, будет еще открыт в науке о равновесии, будет не чем иным, как тем же принципом возможных скоростей, рассматриваемым с иной точки зрения и иначе выраженным. Но этот принцип не только сам по себе является очень простым и очень общим: он обладает, кроме того, особо ценной и уникальной выгодой, позволяющей выразить в одной общей формуле все задачи, которые можно предложить на равновесие тел». (Лагранж, Аналитическая механика, часть первая, § 17.)
