Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
а для закона изменения толщины а получим
0-—IU—
а — --.
X
a cos — а
17. Найти фигуру равновесия нити, на каждый элемент ds которой действует сила Fds, пересекающая неподвижную ось и нормальная к ней, причем F есть функция только расстояния г от элемента до оси.
Ответ. Принимая заданную ось за ось Oz и обозначая через г и O полярные координаты в плоскости X Oy, получим три уравнения:
T = - f Fdr, T^- = C, Tr^ = K.
J ds ds
Каков бы ни был закон силы получается дифференциальное уравнение
вида
dz = ^r Ґ- dd,
которое показывает, что касательные к кривой принадлежат линейному комплексу.
18. Частный случай предыдущей задачи, когда F = iir{t>- — постоянная), при произвольных условиях на концах. Эта задача исследована Клебшем при помощи особого метода, который будет изложен в аналитической механике (Crelle, т. 157, стр. 93).
Мы рассмотрели (п. 142) случай, когда оба конца нити закреплены в точках оси.
19. Найти фигуру равновесия нити в плоскости, зная, что на каждый ее элемент действует сила, пропорциональная этому элементу и образующая с ним постоянный угол. [Применить естественные уравнения; кривая является логарифмической спиралью (О. Бонне).]
29. Найти закон вертикальной силы, под действием которой нить располагается по заданной плоской кривой.
[Задача не будет вполне определенной, если в формулировке ничего не добавить относительно природы силы. Чтобы задача стала определенной, необходимо задать переменную, в функции которой должна быть выражена сила. Если нить лежит в плоскости х Oy и сила Yds параллельна оси О у, то Y может быть выражен в функции одной из величин X, у, s, а, где а — угол касательной с осью Ох, или в функции нескольких из этих величин сразу. Например, если заданная кривая есть окружность х2 + у2 — а2=О, то естественное уравнение (п. 138) будет ГЛАВА VIT. ИЗМЕНЯЕМЫЕ. СИСТЕМЫ
205
x
далее, так как tg а =--и s = аа, то
Aa
V3)
K=-^t-. (4)
a COSii —
а
Это — различные законы, отвечающие заданной окружности.]
Наоборот, найти фигуру равновесия нити, находящейся под действием вертикальной силы, закон которой выражается одной из предыдущих формул (1), (2), (3), (4). Получатся совершенно разные кривые в зависимости от взятого закона. Все они при надлежащем подборе постоянных могут оказаться окружностью jc2 + у2— а2 — 0.
21. Найти закон центральной силы, под действием которой нить расположится по заданной плоской кривой,
[Здесь можно повторить те же замечания, что и в предыдущем упражнении. Принимая центр сил за начало координат и обозначая через лив полярные координаты, долучим
r- ^drKWdf)'
где F рассматривается как положительная или отрицательная величина в зависимости от того, будет ли сила отталкивающей, или притягивающей.] Пример:
4 аС
окружность, г = 2а cos 6, ds = 2a db, F = —.
22. Найти фигуру равновесия нити, каждый элемент которой Притягивается или отталкивается неподвижным центром обратно пропорционально
квадрату расстояния. ^Получится уравнение вида -i- = a + b cos тв, или
•у — а 4- b ch тв, или, как промежуточный случай, -І- = а Ьв2. j
23. Если одна и та же кривая является фигурой равновесия нити под действием силы F1 при натяжении T1, и силы F9j при натяжении T2, то она является также фигурой равновесия нити под действием силы (Zr) = (Ai^i)+ + (Ii2F2) при натяжении (T) = (Ii1T1) -{- (Ii2T2), где Ii1 и k2—постоянные. Использовать естественные уравнения.
24. Свободная нить под действием заданной силы F располагается по некоторой кривой С. Эту кривую осуществляют материально и протягивают по ней нить, подвергнув ее действию той же силы F. Показать, что в этом втором случае нормальная реакция кривой С на элемент ds лежит в соприкасающейся плоскости и имеет значение kdsjр, где k — постоянная, ар — радиус кривизны.
25. Пусть M — произвольная точка нити, находящейся в равновесии. Показать, что главный момент относительно точки M всех внешних сил, действующих на нить от конца Al0 ДО точки М, равен нулю (Мёбиус). (Этот результат выводится из принципа затвердевания в применении к дуге MfjM-Можно вновь установить результаты, указанные в тексте, применив это условие к части находящейся в равновесии цепной линии, заключенной 206
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
между вершиной Afo и точкой Af1 и приняв в качестве вспомогательной переменной натяжение T0 в точке Af0.)
26. Для тяжелой цепочки переменной плотности, находящейся в равновесии на сфере, гиперболоид, у которого образующими одного семейства являются натяжения в точках А к В, к вертикаль, проведенная через центр тяжести дуги AB, проходит через центр сферы. (Для доказательства следует предположить, что дуга AB затвердела и заметить, что приложенные к этой дуге внешние силы: натяжения в точках А и В, вес и равнодействующая реакции сферы должны уравновешиваться.)
27. Найти фигуру равновесия гибкой и нерастяжимой невесомой нити, по которой проходит электрический ток и которая находится под действием магнитного полюса О.
[Геодезическая линия кругового конуса с вершиной в точке О (Дарбу).]
