Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
. adz
du = —=====- •
Y(fi — z)i (a2 — z2) — A2
(См. статью Аппеля в Bulletin de la Societe mathematique, 1885 и статью Гомеца Тейксейра в Annales scientiiicos da Academia Polytechnica do Porto, т. IV, 1909.)
145. Естественные уравнения равновесия нити на поверхности.
Пусть AA' — кривая равновесия, At — касательная к ней в точке А в направлении положительных дуг, An — нормаль в точке А к поверхности, считае- ГЛАВА VIT. ИЗМЕНЯЕМЫЕ. СИСТЕМЫ
18$
мая положительной в направлении от точки А к центру кривизны О нормального сечения, проведенного через At, и R — радиус кривизны АО этого сечения (рис. 97). Если С — центр кривизны нити в той же точке А и-ДС = р _ радиус кривизны нити, то по теореме Мвнье р = R cos 0, где 0 угол САО. Обозначим, наконец, через Ap проекцию направления AC на касательную плоскость к поверхности в точке А. Элемент ds нити находится под действием заданной силы Fds и нормальной реакции Nds, считаемой положительной в направлении АО. Равнодействующая (F) -f- (N) двух сил FkN, на основании естественных уравнений равновесия свободной нити,
dt T
равна равнодействующей сил.— и — — , направленных соответственно по At и АС. Следовательно, сумма проекций сил F и N на какую-
dT
нибудь ось равна сумме проекции сил — —- и
T
— — на ту же ось. Спроектируем силы (F) и
(N) последовательно на оси At, Ар, An. Тогда, обозначая через Ft, Fp, Fn проекции на эти оси силы -F, получим
—3F=/?* -ysin0 = /> -LCOse = Fn + N Из последнего уравнения получим реакцию N:
T T
N =--- cos 0 — Fn = — — Fn.
Первые два уравнения являются естественными уравнениями равновесия нити на поверхности. В этих уравнениях величина ^Jj является
радиусом геодезической кривизны нити.
Например, для сферической цепной линии (п. 144) Fn обозначает проекцию веса р на радиус сферы; следовательно, Fn равно р— . Так как R равно радиусу а сферы и T равно p(z — h), то нормальная реакция для сферической цепной линии равна —^(2z—h). Если нить находится между
двумя бесконечно близкими сферическими поверхностями, то она давит на внутреннюю сферу в точках, где это значение N положительно, и на внешнюю сферу — в точках, где оно отрицательно. Точки, где N = 0, являются в горизонтальной проекции точками перегиба.
Вернемся к общему случаю. Допустим, что нить находится в равновесии и будем деформировать поверхность таким образом, чтобы длины начерченных на ней линий не изменялись. Тогда геодезическая кривизна этих линий остается неизменной. В то же время сохраним для натяжения нити те же значения и изменим F таким образом, чтобы Ft и Fp не изменились. Тогда два естественных уравнения равновесия будут по-прежнему удовлетворяться, и нить останется в равновесии. Изменится только реакция N.
ц Вследствие »того нахождение фигуры равновесия нити на развертывающейся поверхности может быть сведено к случаю, когда эта поверхность — плоскость. Например, фигура равновесия тяжелой однородной цепочки на 184
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
поверхности вертикального цилиндра является кривой, которая при развертывании цилиндра на вертикальную плоскость обращается в цепную линию. Фигурой равновесия тяжелой однородной цепочки на круговом конусе с вертикальной осью является кривая, которая при развертывании конуса обращается в фигуру равновесия нити, каждый эле.чент которой притягивается или отталкивается неподвижной точкой (вершиной конуса) с постоянной по величине силой. Дифференциальное уравнение этой кривой было нами найдено (п. 141).
Ш. Исследование одного определенного интеграла
146. Геометрическая задача. Нахождение фигуры равновесия нити в случае существования силовой функции может быть сведено при помощи интересного приема к отысканию максимума или минимума некоторого определенного интеграла, который встречается также при определении брахистохрон, при доказательстве принципа наименьшего действия и в общей задаче рефракции.
Пусть ср(л\ у, г) — непрерывная функция декартовых координат точки, определенная в некоторой области пространства, включающей
все кривые, которые мы будем рассматривать. Разрешим сначала следующую задачу геометрии.
Среди всех кривых, соединяющих две неподвижные точки AuB (рис. 98), найти такие, которые обращают интеграл {В)
] = I" <р (х, у, z) ds
(Л)
Рис. 98.
в максимум или минимум. В этом интеграле ds обозначает элемент длины кривой, и интеграл распространен на всю кривую между точками А и В. Нетрудно представить себе, что для некоторых кривых С ннтеграл / имеет максимум или минимум. Например, если функция со (л;, у, г) положительна при всех значениях х, у, г, то интеграл / будет положительным и не сможет обратиться в нуль; он будет тогда, очевидно, иметь минимум. В частности, если у(х, у, 2)=1, то значение интеграла I равно длине кривой, соединяющей точки А и В, и кривая С, вдоль которой интеграл имеет минимум, есть прямая AB.
Пусть, в общем случае, С — кривая, обращающая интеграл в максимум или минимум. Выразим координаты х, у, z точки M этой кривой в функции какого-нибудь параметра д, который изменяется в пределах от а до Ь, когда точка M описывает дугу A MB. Обозначим через х', уг' пгюнзводные от х, у, z по q и положим
