Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
dy _ , Jj^ _ 2 dx ~у '
a, = VTTP*dx= v^y2Iy,
приведем его к виду
у' dy' | 2ydy ^0
/Г+
у'2
Интегрируя это уравнение, получим
у2 Ь1
где постоянная б2 должна быть обязательно положительной, так как левая
часть уравнения положительна. Уединяя радикал, возводя уравнение в квадрат
, dv
и заменяя у его значением-^-, получаем
dx=±- a'dy
— у'-)" — а*
Так как нить прикреплена к оси Ох, то уравнение должно иметь вещественное значение для у', когда у = 0; следовательно, Ь-> а\ Обозначая через у (у) стоящий под радикалом многочлен четвертой степени, получим
Cf (у) = (6-і -I- а- — (6- — а1 — у1). 178
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
Величина у, начиная от нуля, может изменяться только в пределах
— M Ь2 — cfl и JrYb2- cfl.
Построим кривую. Допустим, что нить закреплена в точке О (рис. 94) и что она расположена в углу у Ох. Тогда х сначала возрастает вместе с у, dx
—— положительно и dt
f
a2 dy
Yfiy)'
Когда у возрастает, х тоже возрастает, причем до тех пор, лается равным Yb'2 — в2. Тогда х достигает значения
VrVr-
(С)
пока у не сде-
6 =
/
cfldy
Yf(J)
Таким путем получается ветвь OMA1. Касательная в A1 горизонтальна. Начиная с этого значения, у убывает, и для того, чтобы х продолжало возрастать, необходимо взять перед Yf (У) знак — . Так получается вторая ветвь A1M1O1, симметричная с первой ветвью OMA1 относительно ординаты A1B1, так как одинаковым изменениям у отвечают одинаковые изменения X. При у = О получается точка Oi с абсциссой 2?. После этого у, становясь отрицательным, может убывать до значения — Ybi — а2. При этом абсцисса будет все время возрастать до значения 3?, в которой касательная горизонтальна. После
-YW-
Рис. 94.
что соответствует точке А. этого у снова возрастает точки
от —у Ь'!—а'1 до -\-Yb2 — я2. Начиная от A2, необходимо брать перед радикалом знак -f-, и получится дуга A2Q2Ab, пересекающая ось в точке O2 с абсциссой 4S и т. д. Все получаемые таким образом последовательные волны тождественны с первой, и кривая аналогична синусоиде.
Уравнения легко интегрируются в эллиптических функциях. Положим в уравнении (С) кривой
__A3_Л2 9/72
у = = !-*2 = *'2-;^. (1)
а2+ б2
Тогда оно принимает вид
X Y^
ak'
P_dt
J V(l—?3)(1-
/??2)
откуда
t = sn
xY_2_
ak'
у = Yb2 — a'2 sn
k_Y2_ ak' глава vii. изменяемые системы Дифференциал ds дуги кривой будет
179
Сделав в этой формуле подстановку (1), мы получим для абсциссы ? точки Ai и для длины X дуги OAx следующие два выражения:
? =
ak'
/
dt
/2 J /(1 — i2)(l —6?3) У2
а і* (1 + k2—2k2t2)dt
~ k'' /2 J /(!_**) (1-і
— /??3)
(2)
так как для точки Ax величина t равна 1.
Когда XhS даны, причем X должно быть больше, чем так как дуга OAi больше своей проекции OBv то постоянные величины а и № имеют единственную систему значений при условии, что K1 < 1. В самом деле, вычисляя X — ? и X —j— 6, имеем У
5 =^0
JW
— р
¦кЧ*
dt
Ivr^
P
dt
(3)
Рис. 95.
При k2 = О отношение в правой части равно нулю; при увеличении k2 числитель будет,
очевидно, возрастать, а знаменатель убывать и, следовательно, отношение будет возрастать. При ^e=Jj оно обратится в единицу. Таким образом, это отношение проходит один и только один раз через заданное значение
. і , . Следовательно, постоянная k2 будет иметь одно и только одно зна-A.+ «
чение. Тогда из выражения (2), написанного для получим для а единствен-
5/2
ное значение
Kk'
Определение постоянных. Так как нить имеет заданную длину I и закреплена в точке О и в точке О' оси Ojc с абсциссой а, то может представиться бесчисленное множество случаев.
1°. Нить имеет только одну полуволну между О и О' (рис. 95). Тогда ? равно половине о, а X — половине I. Величины ? и X известны и постоянная № имеет значение, определяемое формулой (3); после
а/2
этого а =
2Kk' ш 180
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
2°. Нить имеет две полуволны между О и О'. Тогда '= ^ = >
— є
a k1 имеет то же значение, что и в предыдущем случае, так как g
имеет то же значение ^ . . После этого A. -j- а
CtVT
а =
Ш'
3°. Вообще, если нить имеет п полуволн между О и О', то с = ,
Iw, a Y5
і- = -—, к- имеет всегда одно и то же значение, но a =
Jn7
'in' -4 ~ —, ~ - 2nKk, .
Следовательно, существует бесчисленное множество положений равновесия, которые все подобны первому относительно точки О с отношением подобия V2, V 3, ..., У п. (См. Аппель и Л я к у р, Theorie des fonctions elliptiques.)
143. Равновесие нити на поверхности. Пусть f(x, у, z) = 0 —
уравнение поверхности, отнесенное к трем прямоугольным осям. Нить находится под действием непрерывных внешних сил. Обозначим через F (X, Y, Z) силу, отнесенную к единице длины, в рассматриваемой точке.
Нить может скользить без трения, и реакция поверхности на элементе ds направлена по нормали. Пусть N— реакция, отнесенная к единице длины; ее проекции равны
і К. \М. ) ^L
