Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Излагаемые ниже преобразования и теоремы применимы только в том случае, когда проекции X, Y, Z равнодействующей заданных сил, приложенных к точке, суть частные производные функции U (t, X, у, г), которая может содержать явно время t. Уравнения Лагранжа будут тогда иметь вид:
где v=l, 2, 3 для свободной точки, v = 1, 2 для точки на поверхности Hv=I для точки на кривой. Мы будем вести изложение, предположив для определенности, что точка свободна, v=l, 2, 3; тогда будут три уравнения и три параметра ^1, q2, q3. Но, как мы увидим, выкладки не будут зависеть от числа уравнений (1).
Преобразование, начатое Пуассоном и законченное Гамильтоном, позволяет написать уравнение в форме, которая содержит частные производные только от одной функции и которая очень удобна для теоретических исследований.
Эта форма привела Якоби к замечательной теореме об интегрировании уравнений движения.
(1) ГЛАВА XV. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ 467
I. Канонические уравнения. Теорема Якоби
292. Преобразование Пуассона и Гамильтона. Пуассону принадлежит идея принять за переменные величины
дТ дТ дТ
Pi = -TT, P2 = -T-T' Ps = -TT- (2)
dg і og2 дд3
Эти уравнения, будучи линейными относительно q'v q'r q'v так как T есть квадратичная функция этих величин, могут быть разрешены относительно q'2, q's в виде:
Я\=ІЛЯі' Qi- Qs- Рк Pi- Pi- t), ]
Q2 = UiQi- Qt- Qs- Px- Рг- Pi- | (3)
Ч'г = їі(4і- 42- Qs- Pi- Pi- Ps- t). j
Посмотрим, во что обратятся уравнения Лагранжа, если в них заменить q'v q'2, q'3 этими выражениями.
Прежде всего, первые члены уравнений (1) обратятся
at ^ dgv J
dPi
просто B .
Для преобразования второго члена — дадим в выражении T
переменным qlt q2, q3, рх, p2, p3 произвольные бесконечно малые приращения 8qv bq2, 8q3, Sp1, 8p2, 8p3, оставляя переменную t постоянной. При этом величины q'v ,;, q's получат приращения bq.'2, 8 определяемые соотношениями (3), в которых t остается постоянным.
Тогда функция Т, зависящая от ,,, q2, ,3, pl7 р2, р3 и t, получит приращение оТ, определяемое формулой
87 = dJL bq, + dJL Iq2 + dJL 8,3+? 8,; + dL, 8,;+dL w
dgj dg2 dg3 dg, ag2 ag3
или в силу уравнений (2)
ьт = Sfi8<?1 + Й8<?2 + W 8<?3+Pi 8^+Рг 8^ + Рз 8^'
что можно написать так 8г = 8 (P1,; + +р3,;) +
+ W1 + W892 + W 8<?3 ~ * q2 bPi ~ 4>§/Лі'
Полагая для краткости
К = P1Qr1 + P2Q2 + PsQs — Т.
30* Зак. 851. П. Аппель, т. I 468
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ, ДИНАМИКА ТОЧКИ
представим это равенство в виде
W = - W Ч — J ч — J ч + tf 8^1 + Я2 Zp2 + ч'3 ^3 ¦
что является первым выражением для дифференциала 8К. С другой стороны, допустим, что К выражено при помощи системы новых переменных Q1, q2, q3, plt р2, р3, t. Когда qlt q2, q3, P1, р2,^р3 получают рассматриваемые произвольные приращения, тогда 'Ж определяется формулой
„„ дК , , дК * , дК * , дК * , * , дК ? °К =W^ +W^ +W3^3 +W^Pl +Wo^ +
Это выражение должно совпадать с первым, каковы бы ни были ^q1, bq2, oq3, Sp1, Ьр2, Ьр3. Следовательно,
-dA = dJi, q' = *K (v=i, 2, 3). (4)
dq, dq/ ч-> др., - ' >
В этих уравнениях частные производные берутся в предположении, что T выражено через qv q2, q3, q[, q2, q'y а К выражено через Qv Яг' Яз< Pv P2' Рз- В силу уравнений (4) уравнения Лагранжа (1) принимают вид
dp.,,dK_dU dq,_dK , , „ оч «V
Рассмотрим разность
H=K-U.
Функция U, зависящая только от х, у, z, t, выражается через t и через переменные qt, q2, q3, в то время как К зависит от времени, от переменных qlt q2, q3 и еще от переменных P1, р2, р3. Таким образом, имеем
^A-dA dA^.dA = dJL
др., —др.,' dq, dq.—dq,
и уравнения (5), если полагать последовательно v -= 1, 2, 3, обратятся в следующие:
~dt~dpi' "dt ~~ Ip2' dt - Op3' I dpt__дН dp?__дН dfa__дН |
~dt~ — Wi ~dt~ Wi' ~dt — Wa' і
Это и будут канонические уравнения движения, данные Гамильтоном. Они будут первого порядка и число их равно шести. Они определяют шесть переменных qv q2, q3, pv p2, p3 в функции времени и шести произвольных постоянных. Для определения движения системы достаточно найти значения параметров qu q2, q3 в функции времени, так как только они участвуют в определении положения точки.
(6) ГЛАВА XV. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
469
293. Частный случай, когда выражения х, у, z через qu q2, qs не содержат явно времени. Вычисления упрощаются, если определение новых координат Q1, q2, q3 не зависит от времени, т. е. если выражения х, у, г через qlt q2, q3 не содержат t. Тогда будет
K=T.
В самом деле, в этом случае T будет однородной функцией второго-порядка относительно q' q', q's и мы получим (пп. 261, 265, 283)
, дТ , , дТ , , дТ 07, dq j dq2 dq3
Ho на основании уравнений (2) левая часть представляет собой не что иное, как P1Q1 +p2q',+p3q'3- Следовательно,
К = P1Q1 + P2Q2 + P3Q3 — T =2Т — T=T,
и функция Гамильтона H принимает вид
T — U.
В этом случае преобразования, которые надо выполнить, чтобы перейти от квадратичной формы Т, выраженной через q'v q2, q' к форме Т, выраженной через рх, р2, р3, совпадают с теми, которые надо выполнить для перехода от квадратичной формы к форме сопряженной, как, например, для перехода от уравнения конического-сечения в точечных однородных координатах к его уравнению в однородных тангенциальных координатах.
