Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
п о
Vl — -о-» V2 =--Q-•
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть zOz' — вертикальная однородная ось, продолженная неограниченно в обе стороны. Все элементы этой оси притягивают материальную точку Al пропорционально их массам и обратно пропорционально четвертой степени расстояния. Кроме того, на точку Al действует,ее вес. Исследовать движение, предполагая, что проекция начальной скорости точки M на плоскость MOz вертикальна. Траектория определится, если рассматривать ее как пересечение цилиндра, параллельного Oz, и поверхности вращения, имеющей Oz осью. Рассмотреть частный случай, когда начальная скорость горизонтальна (лиценциатская, Монпельс).
2, В уравнениях равновесия свободной нити под действием силы, имеющей силовую функцию U(X, у, z), сделана замена переменной
rf?
j= dt, T = — (?/+ ft).
Эти уравнения обратятся в дифференциальные уравнения движения точки с массой 1 под действием силы, имеющей силовую функцию (UА)2.
Используя сказанное, распространить уравнения Лагранжа на равновесие нити, находящейся под действием силы, имеющей силовую функцию (Comptes rendus, т. XCVI, стр. 688). ГЛАВА XV. ПРИнЦиП ДАЛАМБера нАИМенЬШЕГО ДЕЙСТВия 458
ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
288. Принцип Даламбера. Принцип Даламбера позволяет свести процесс составления уравнений динамики к составлению уравнений статики.
Этот принцип, который мы здесь изложим для свободной материальной точки и для точки, движущейся по поверхности или по кривой, применим к любой задаче динамики. Он позволит нам подвести итог всей теории движения точки.
Рассмотрим материальную точку M массы т, находящуюся под действием сил, равнодействующая которых R имеет проекции Rx, Ry, R2. Уравнения движения этой точки могут быть написаны так:
= ^4-^ = 0, = (і)
Будем рассматривать наряду с векторами, представляющими при-
d-x
ложенные К точке M СИЛЫ, вектор MI C проекциями -mOfi'
Cfl у cjlг
— —т df> ' от вект0Р> численно равный произведению
массы на ускорение и направленный противоположно ускорению, называется силой инерции, хотя это никоим образом не будет силой, приложенной к точке. Тогда уравнения выражают, что геометрическая сумма векторов MR и MI равна нулю, или, что в каждый момент-времени существует равновесие между силой инерции и силами, действительно приложенными к точке.
Вывод уравнений движения из принципа Даламбера. На основании только что сказанного, для нахождения уравнений движения точки при любых условиях достаточно выразить, что имеет место равновесие между всеми силами, приложенными к точке, и силой инерции. Но это можно сделать методами статики. Можно, например, применить теорему о возможной работе. Для этого нужно различать среди сил, приложенных к точке, силы заданные и реакции связей. Через X, Y-, Z мы обозначим проекции заданных сил.
Чтобы написать, что существует равновесие между силами, действующими на точку, и силой инерции, достаточно написать, что на ГЛАВА XV. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ 459
всех возможных перемещениях 8л;, 8_у, Ьг, допускаемых связями, существующими в момент t, сумма работ заданных сил (X, К, Z)
( <Рх <Ру <Р-г\
и силы инерции I— mHt' —т~Ш' —т Ш) Равна НУЛЮ:
(X-mg)bx + (Y~mg)^ + (z-m§)bz==0. (2)
Следует различать три случая:
1°. Свободная точка. 8л;, 8_у, Ьг произвольны. Если, как в п. 282, применяется произвольная система координат qv q2, q3, то, заменяя Qu Qi• Qi вариациями Sql, 8q2, 8q3, получим:
л дх л і дх л і дх л
Ьх = W^ +W^2 +^bq"
где 8q,, bq2, bq3 произвольны.
Подставляя 8л:, 8_у, 8г в равенство (2) и приравнивая результат нулю при произвольных Sq1, bq2, bq3, получим уравнения движения в форме, указанной в п. 282, из которых мы вывели уравнения Лагранжа для свободной точки.
2°. Точка на поверхности. Пусть
f(x, у, z, 0 = 0
есть уравнение поверхности, которая для общности предполагается движущейся. Давая переменному t определенное значение, мы видим, что 8л;, 8_у, bz должны удовлетворять условию
выражающему, что возможное перемещение допускается связью, существующей в момент t. Если, как в п. 263, выразить координаты точки поверхности в функциях двух параметров, то получим
in дх % і дх л Ъх = ^bql +^hq2,
и соотношение (2) должно иметь место, каковы бы ни были bq, и bq2. Таким путем получатся уравнения движения в форме (4) п. 263. 3°. Точка на кривой. Пусть
f(x, у, z, t) = 0, А (х, у, z, t) = 0
— уравнения кривой. Величины 8л;, 8_у, 8г должны удовлетворять двум условиям
«Vi 460
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ, ДИНАМИКА ТОЧКИ
Допустим, что координаты точки кривой выражены в функции одного параметра:
X = ? (<7, t), у = ф (q, t), Z = а (<7, f).
Тогда наиболее общее перемещение на кривой в положении, которое она занимает в момент t, получится, если дать величине q приращение <>q. Поэтому имеем
„ дх „ „ ду Л дг „
OX = ^O q, Oy=-Loq, OZ = ^oq,
и уравнение (2), после сокращения на множитель Sq, примет вид
/1Px дх_ , a2y ду . d*z дг_\_ „ дх . ду , 7 дг
т \dT dq dF dq dt2 dq ) ~ ~dq ~5q dq '
