Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
sn (X jT 2К) = — Sn X.
*) См. Аппель и Лякур, Principes de Ia theorie des ionctions ellip-tiques. ГЛАВА XII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО КРИВОЙ
383
а
Полезно знать разложение величины T по степеням sin , т.е. величины К по возрастающим степеням k. Для получения этого разложения напишем по формуле бинома
1 + ... +b3.5...(2„-lWn+_
У і _ ^?? 2 2-4 2-4-6... iIn
и, опираясь на легко устанавливаемую формулу і
/
U0^dU _ к 1 -3-5 ... (2л— 1)
Vl — и2 2 2-4-6...2 п
о
получим
и, следовательно,
'-т/'тКЙГ-т+Й'-т+-]-
Для бесконечно малых колебаний (а = 0) получаем, таким образом,
T = —.
2 Vg
тт „ „ а а
Для колебании с незначительной амплитудои можно заменить sin углом и ограничиться только двумя первыми членами разложения. Получим
g
2°. Нам нужно теперь рассмотреть случай, когда прямая П не пересекает окружности, т. е. когда а > I. Уравнение кинетической энергии w2 = 2g(a — г) может быть написано в виде
р (fr=2^+/cos6)=24+/-21 sin2 і) 21
или, положив k1 =-1—; , в виде
а + /
/2 (ж) =2S^ + О (l - ^ sin. 1).
Величина ft2 меньше 1, так как а больше I. Разрешая это уравнение отно-
1 Y^g (« +1)
сительно dt и полагая \ = —-——1—-, получим
W6 " ,у 6
d2 Г 2"
Xdt=— —, Xt- 1
|/ 1Sin2I J ]/"
J i/7
sin2-J 3.384
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Примем, наконец, a = sin в качестве новой переменной. Тогда
о
da
и") (1 — Ги")
It = j - __ , « = sn(X0,
т. е. sin -g- = sn (M). Отсюда найдем
cos А = у j __ sno = сп
Время Т, необходимое точке для достижения наиболее высокого положения, получится при изменении 0 от 0 до л или при изменении а от 0 до 1; следовательно
3°. Остается, наконец, рассмотреть промежуточный случай, когда прямая II касается заданной окружности, т. е. когда а = 1. Тогда интегрирование можно выполнить при помощи показательных функций, так как модуль предыдущих эллиптических функций делается равным 1. В самом деле, вернемся к уравнению кинетической энергии v"1 = 2g (а — г). Напишем
V
I- ("А )Я = 2g (l+l cos 9) = 4gl cos2 т ,
0
cosy
Интегрируя, получим
—«(т+т)-
Постоянная интегрирования равна нулю, так как t должно обращаться в нуль одновременно с 9. Когда t неограниченно возрастает, 9, возрастая, стремится к пределу tl; движущаяся точка неограниченно приближается к наивысшему положению, никогда его не достигая. Оно является положением неустойчивого равновесия.
Вычисление реакции. Реакция в каждой точке направлена по радиусу окружности; она считается положительной в сторону центра и отрицательной в противоположном направлении. Пусть тогда N—ее алгебраическое значение; второе естественное уравнение принимает вид
Fn+N=f,
так как N совпадает со своей проекцией на главную нормаль. С другой стороны (рис. 157),
Fn = -mg сов в = »ff, V2 = 2 g(a — z), и радиус кривизны р равен длине I маятника; поэтому ГЛАВА XII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО КРИВОЙ
385
Следовательно, когда точка поднимается по окружности, реакция уменьшается, и ее максимум, существенно положительный, имеет место в наиболее низг кой точке. Эта реакция обращается в нуль и меняет знак в точках, в ко-
„ • 2 а
торых окружность пересекается С прямой Z = -q- .
о
Если сообщить точке движение в трубке, изогнутой по окружности, то, как вытекает из изложенного выше, точка будет давить на внешнюю стенку трубки, когда реакция N положительна, и на внутреннюю, когда реакция отрицательна. Чаще всего движущаяся точка связывается с неподвижной точкой при помощи гибкой нити. Когда реакция положительна, нить остается натянутой; если же после обращения в нуль реакция должна стать отрицательной, то точка будет стремиться приблизиться к центру, и нить не сможет удержать ее на окружности. Если пренебречь массой нити, то точка покинет окружность в положении АС, где N = Qn начнет свободно перемещаться под действием веса; следовательно, она опишет параболу, касающуюся окружности в точке, где обе кривые имеют общий радиус кривизны. В самом деле, скорость точки, так же как и действующие на нее силы, с момента, когда она покидает окружность, будут изменяться непрерывно; естественное уравнение, определяющее тФ\р, показывает, что радиус кривизны также изменяется непрерывно, и вследствие этого обе кривые будут действительно соприкасающимися в точке /С Парабола, имеющая вертикальную ось, определяется из условия касания в рассматриваемой точке *).
Найдем теперь, какие условия должны дополнительно выполняться, чтобы точка или покинула окружность, или осталась на ней. Рассмотрим прямые
A ^z = и П (z = а) (рис. 157). Если а отрицательно, то реакция никогда
не обратится в нуль, так как прямая Д будет расположена над прямой П. Точка, колеблясь между А и А', никогда этой прямой не достигнет и реакция будет везде положительная. Точно так же, если 2й/3 больше чем /, то прямая Д будет вне окружности и реакция не обратится в нуль; точка будет периодически непрерывным образом описывать окружность. Следовательно реакция может обратиться в нуль, только если
