Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
dx Sdx
(Можно исходить из тождества — = -^ ^x > которое нужно про-
rfs3
дифференцировать, вспомнив, что х dy — у dx = р ds, dy d-x — dx d-y = —,
V = = В частности, если R = kv1, то получается интеграл S = Ае~кз,
заменяющий интеграл площадей, причем s — описанная дуга кривой. (С и-аччи, Comptes rendus, т. LXXXViii.)
22. Доказать, что если в предыдущем упражнении предположить, что сопротивление пропорционально скорости, R = kv, то будет существовать интеграл
S=Ce-M. (Эллиот.)
23. Найти движение точки массы 1 под действием центральной силы
IA1 3[А3 _
равной ——--- . Этот закон сил, с достаточной для астрономии точностью,
является приближенным выражением притяжения удаленной точки сфероидом. (Г ю л ь д е н, Comptes rendus, т. XCL, стр. 957.)
24. Определить движение материальной точки, притягиваемой неподвижным центром, пропорционально расстоянию, при воздействии сопротивления среды, пропорционального скорости.
(Траектория плоская; для определения х и у в функции от t получаются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
25. Материальная точка, притягиваемая массой М, описывает круговую орбиту радиуса а. Обозначим через 6 период обращения, приняв за единицу времени естественный час (/=1). Имеем 6 = 2яУ"дЗщ. Если M — масса куба воды со стороной а, то M = а8, 6 = 2я. Тогда материальная точка будет стрелкой абсолютных часов; за каждую единицу времени она будет описывать дугу, равную радиусу. (Липпман, Comptes rendus, 8 мая 1899.)
26. Исследовать изменение элементов траектории планеты или кометы
Vn
под действием сопротивления среды, определяемого равенством R = k —-.
гп
Показать, что большая ось постоянно убывает; что эксцентриситет не изменяется, если л + п' = 1, и уменьшается, если л + п' > 1; что круговое движение устойчиво в обоих этих случаях.
(Нужно продифференцировать по а и и2 формулы п. 237, вводя cos и.) (А. Веронне, Comptes rendus, т. CLXXII, CLXXVII.) ГЛАВА XII
ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО НЕПОДВИЖНОЙ ИЛИ ДВИЖУЩЕЙСЯ КРИВОЙ
I. Движение по неподвижной кривой
244. Уравнения движения. Пусть дана кривая, по которой движется точка, и MF— результирующая действующих на эту точку внешних сил. Точка оказывает на кривую некоторое давление и кривая действует на точку равной и прямо противоположной реакцией, которая будет нормальна к кривой, если предположить, что отсутствует трение. Вследствие этого точка может рассматриваться как свободная в пространстве при условии, что к ней прилагаются сила F и реакция MN (рис. 154). Так как положение точки на кривой зависит только от одного параметра, то для определения движения достаточно только одног.о уравнения, не содержащего реакции. Это уравнение мы ,получим по теореме кинетической энергии в виде
Рис.154. d?^-=Xdx-\-Ydy-\-Zdz.
Уравнение не содержит реакции N, так как последняя, оставаясь нормальной к перемещению, не производит никакой работы.
Для завершения вычислений нужно выразить координаты точки кривой в функции некоторого параметра q:
x = <?(q), y = ty(q), z = m(q).
Тогда имеем
(§)+(?)= ^ + + <'>
Xdx + Y dy+Zdz = (Лу -f Kf -f Zm') dq = Q dq, (2)
где Q обозначает выражение Xf' -f- Кф'-f- Zw'. В наиболее общем случае, который может представиться, сила зависит от положения движущейся точки, ее скорости и времени. Тогда компоненты X, ГЛАВА XII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО КРИВОЙ 373
У. Z, а следовательно, и Q будут функциями от q, ~ и t, и уравнение кинетической энергии, написанное в виде
будет дифференциальным уравнением второго порядка, определяющим q в функции t.
В частном случае, когда сила зависит только от положения точки, Q будет функцией только от q, и интегрирование уравнения приводится к квадратурам. Действительно, уравнение кинетической энергии будет
, mv-
d —
mv- mVg Г = Qdq, ---— = J Q dq.
з,>
Из этого уравнения можно найти ^jjrj в функции q, для чего нужно заменить V2 его значением (1). Получим
©=/<,>. $-±vm. <-<.= ±,/>лГ
Чп
Таким образом, задача решается двумя последовательными квадратурами. Выражение содержит два знака. В начале движения известно, какой знак нужно взять, так как знак начальной скорости определяет знак начального значения ^ . Этот знак нужно сохранять
до тех пор, пока ~ не обратится в нуль; если по истечении конечного промежутка времени функция / (q) обратится в нуль, то скорость тоже обратится в нуль; тогда направление касательной составляющей силы определит направление движения, а следовательно, da
и знак _ dt
Если существует силовая функция U (х, у, z), то первое интегрирование производится сразу. Имеем
mV°- TJf 4 1,
-Tr = Uix, у, z) + /г,
где значение h равно --U (х0, у0, г0). После замены х, у, z их
выражениями через q, вычисления завершаются так, как указано выше.
245. Устойчивость равновесия. Допустим, что сила X, У, Z зависит только от положения движущейся точки. Тогда величина Q будет функцией только от q и для нахождения положений равновесия нужно найти значения q, обращающие Q в нуль (п. 92). Эта задача 3.374
