Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
будет вначале отрицательной и скорость будет уменьшаться, приближаясь к X. Так же, как и выше, можно убедиться, что t и х неограниченно возрастают, когда v стремится к X.
Итак, какова бы ни была окорость в начальный момент, она будет стремиться к одному и тому же пределу X и по истечении достаточно большого промежутка времени движение станет почти равномерным со скоростью X. Отсюда следует, что если начальная скорость будет в точности равна X, то движение будет точно равномерным. Заметим, что дифференциальное уравнение (1) действительно допускает решение v = X.
Допустим, что в воздухе падают два одинаковых однородных шара, массы которых различны. При одинаковых скоростях сопротивление будет одинаковым; следовательно,
mg<f(v) = m1g<fl(v). .(4)
Обозначим через X и X1 предельные скорости для обоих шаров, определяемые уравнениями ср(Х)=1, Cp1(X1)=I. Легко видеть, что если /K1 >• т, то X1 >• X. В самом деле, полагая в равенстве (4) ¦V = X, получим:
Следовательно, Cp1(X) меньше единицы и так как функция Cp1 — возрастающая, то X1 >• X. Это показывает, что большей массе соответствует большая предельная скорость, что находится в соответствии с опытом, показывающим, что более тяжелые тела падают в воздухе быстрее.
В качестве упражнения можно положить
gtf (к) = kvn.
При л целом, квадратуры, которые нужно выполнить, касаются рациональных дробей. Если л — число рациональное, л = , то, полагая v = uq,
по-прежнему приведем задачу к рациональным дифференциалам.
Если, например, л = 1, то уравнение (2) можно проинтегрировать, и мы получим
W = In^oi
А — V
откуда находим первый интеграл
\ — v = (K — v0) е~ы.
Здесь мы действительно приходим к общим результатам: X— v имеет знак А— V0 и когда t неограниченно возрастает, показательная функция стремится к нулю и V стремится к X. Заменяя v через и интегрируя, найдем
\t — x = — j (X — v0)e-kt+C. 294 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА точки
Так как при ^ = O должно быть х = О, то
X —1»0 ,, ^ п ¦ .1 — е
-kt
Xt — х = (X-V0)-
к ' " к Таким образом, для х как функции времени получаем
-kt \ j_e-kt
V0-
где скорость X заменена ее значением g/k.
Покажем теперь, что если k стремится к нулю, то уравнение, определяющее X, становится уравнением вида х = v0t + gt2, которое определяет
свободное падение в пустоте. В самом деле, если в предыдущем равенстве мы заменим e~kt его разложением в ряд, то получим
и если A = O, то останется
X = v0t + -i- gtK
2°. Восходящее движение. Направим теперь ось Ox вертикально вверх (рис. 136). По-прежнему R = mg<f(v) и уравнение движения будет
vr m^= — mg — mg<f(v),
т. е.
"М dv г 1 t / м
at= — SrH+? («01. ff откуда, как и раньше, выведем:
Щ
gt~ f 1 +
\ff _ Г у dv
Sx- — J l + ?(w)"
Рис. 136. v„
dv
В этом случае всегда отрицательно и скорость все время
уменьшается. Она обращается в нуль по истечении конечного промежутка времени
г—
dv
g J 1 + T (®) '
V0
и наибольшая высота, которой достигнет движущаяся точка, будет
g J 1 +
g J 1 + ?(и)
V. ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 295"
Если cp(tf) равно нулю, то получаются формулы движения в пустоте
о о
7X = -J Idv- " --
»0 «о
Когда функция ср (v) не равна нулю, то она положительна. Вследствие этого подынтегральное выражение в H всегда меньше подынтегрального выражения в H1; поэтому H меньше чем H1 и точка в воздухе поднимается на меньшую высоту, чем в пустоте. Точно так же T меньше чем Tv и точка затрачивает меньше времени для поднятия на наибольшую высоту, чем при движении в пустоте.
По истечении времени T точка останавливается и затем начинает падать по закону, установленному выше для нисходящего движения при отсутствии начальной скорости. Когда точка проходит через свое начальное положение, она имеет скорость, меньшую чем v0. В самом деле, она поднимается на меньшую высоту, чем если бы она была брошена вверх в пустоте с той же начальной скоростью; кроме того, она падает тоже медленнее, так как ее падение замедляется сопротивлением воздуха. По этим двум причинам скорость при возвращении будет меньше, чем та же скорость при движении в пустоте, Т. е. меньше чем V0.
Полагая снова gcp (v) = kvn, мы сумеем легко выполнить интегрирования в случае ті = 1. Имеем
е
kt = - f = +
J g + kv g + kv о
«о
откуда, потенцируя, получим
g + kv = (g + kv 0)е~м. (с)
Точка поднимется на максимальную высоту по истечении временя
r = -L,n(i + |4
Заменим в уравнении (с) скорость v через ^ и проинтегрируем. По-
лучим
gt+ tor*= (g + kv0)
1 — ё
,-kt
Полагая к стремящимся к нулю, мы придем к формуле движения в пустоте
X = v0t-j gt\
Положим теперь п = 2. Тогда, заменяя через X2 величину g/k, получим
V
h* С dv Ii^1-
kt = - J Tq^ = -T arctS т+ а 296
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА точки
откуда, полагая ? = CK имеем
Постоянная ? определится из начального условия V0 = X tg ?. Время, необходимое для поднятия на максимальную высоту, на которой v = 0, равно
