Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
и проинтегрировав, получим
V
т dv
t
<р(и)
«о
Так как dx = vdt, то
mv dv Г mv dv
dx
• -/
f (V) ' J f (V)
Здесь XHt получились выраженными в функции вспомогательной переменной v. Последнее уравнение mv dv = ср (d) dx вытекает также из теоремы кинетической энергии, так как ср (v)dx есть элементарная работа силы и mvdv = d^mv2.
3°. Сила зависит только от времени. Если, наконец, X есть-функция только времени t, то имеем
d2X /л
т -W = V W-
Интегрируя первый раз, получим
dx Г т~0Г = J <?(t)dt-{-mv0.
to
После второго интегрирования найдем t t
тх= / [ / Ф (0 dt^dt + mv0 (t —10) + mx0.
to to
211, Приложение к движениям, происходящим под действием силы» зависящей только от положения.
1°. Вертикальное движение тяжелого тела в пустоте. В качестве оси примем направленную вверх вертикаль, проходящую через начальное положение точки. Обозначим через U0 алгебраическое значение начальной скорости, которое предполагается вертикальным. Сила, действующая на точку, равна в каждый момент времени — mg, и поэтому уравнение движения будет
сРх сРх ...
= ~mg> -ЙЙГ = -Є- (1)'
dt2 - s' dts
Интегрируя первый раз,, находим dx
dt
= V = —gt + и0, (2)
причем время отсчитывается от того момента, когда точка начинает двигаться. Интегрируя второй раз, получим
X = -Л?- +Vot, (3) 284 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА точки
если абсциссы отсчитываются от начального положения точки. Если U0 положительно, то скорость, будучи вначале положительной, затем убывает и обращается в нуль по истечении промежутка времени V0Ig. Начиная с этого момента, скорость становится отрицательной и неограниченно увеличивается по абсолютному значению. Исключая t из равенств (2) и (3), найдем
Vi = V10-cIgx.
К этому же соотношению можно прийти, применяя теорему кинетической
dx
энергии, т. е. умножая обе части равенства (1) на 2 и интегрируя. Таким образом,
v=±Yvl-2gx .
При сделанном нами предположении, что «о > 0> точка начинает двигаться вверх и в начале движения ее скорость положительна. Следовательно, перед радикалом надо взять знак -(-. Пока х будет увеличиваться до vfy2g, скорость будет уменьшаться до нуля, после чего точка начнет падать и тогда перед радикалом надо будет взять знак —. Полученное нами выражение для скорости доказывает, что на одной и той же высоте, как при движении вверх, так и лри движении вниз, точка имеет скорость, одинаковую по абсолютному
значению. Точка проходит на
_.-а___. этой высоте каждый раз через
.-*" одну и ту же поверхность
__^__уровня.
^TT ^ Z7R ~д ? 2°. Движение материаль-
—"" ной точки, притягиваемой
неподвижным центром О про-Рис. 132. порционально расстоянию.
Примем точку О (рис. 132) за начало, а за ось — прямую OM0, которая будет траекторией. В качестве положительного направления примем OM0, где M0 — начальное положение точки, и обозначим через U0 начальную скорость.
Рассмотрим случай притяжения. В этом случае сила в какой-нибудь момент времени будет равна — (j.jf, где (j. положительно, каково бы ни было
положение точки, справа или слева от 0. Полагая = kполучим уравнение
движения
(Пх
4^+^=0. о)
Это уравнение является линейным уравнением с постоянными коэффициентами без правой части. Его общий интеграл имеет вид
X = A cos kt + В sin kt,
где А и В — две постоянные. Скорость v есть производная от х по t:
V = — Ak sin kt + Bk cos kt.
Для определения постоянных дадим величинам х и v начальные значения X0 и U0, которые они имеют при t = 0. Получим
Jf0 = A, V0 = Bk.
Значение X будет тогда
jf = jf0 cos kt+jy sin kt. (2) ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 285"
Следовательно, движение является простым колебанием периода T = — (вперед и обратно). Для нахождения амплитуды колебания положим:
X0 = a cos a, = — a sin а, а = + 1 / „2 . U!L
k 'J/ xO "Г ?2 •
Тогда
Jf = a cos (А/ + а). (3)
Следовательно, Jf изменяется от — а до + а, т. е. амплитуда равна а. Если начальная скорость равна нулю, то
Jf = Jf0 cos kt,
В этом случае время, необходимое точке для достижения положения О, равно четверти периода Т, т. е. тг/2А. Оно не зависит от х0. Этот результат выражают, говоря, что движение является таутохронным.
Применение теоремы кинетической анергии. Умножая обе части уравнения движения на 2dx и интегрируя, получим
При Jf = Jf0 должно быть V = V0, следовательно, h =Vi0 + Vxl
и h является существенно положительной величиной, большей, чем №х2 или равной ей; следовательно, мы можем предположить, что h = №а2, причем Jf0. Тогда уравнение движения принимает вид
dX-Y = A2 (аз - xi), ^r = ±А Ya2-X2,
dt j v " dt и время t определяется элементарной квадратурой
(4)
kt
LU
Г dx
= J ±Y a2 —X2
приводящейся к арксинусу. Мы приходим, таким образом, с иной точки зрения к уравнению движения (2). Формула (4) показывает, что х может изменяться только между — а и + а для того, чтобы радикал был вещественным. Когда Jf изменяется от — а до -f- а перед радикалом (4) следует брать знак +, а когда Jf уменьшается от + а до — а, нужно брать знак —.
