Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
F < Nf, G' < Nb.
Может случиться, что одно из условий (1) и (2) выполняется» а другое нет. Тогда в первое мгновение цилиндр катится без скольжения или скользит без качения. Если не выполняется ни одно из этих условий, то одновременно будет и скольжение и качение в том смысле, что элементарное перемещение цилиндра будет складываться из скольжения и вращения вокруг образующей, по которой происходит касание.
Если цилиндр уже находится в движении, то допускают, что при качении реакция плоскости, противодействующая качению, все время имеет максимальное значение, так что во время качения пара, представляющая трение качения, все время равна Nb, где N—нормальная составляющая реакции плоскости. Точно так же, если происходит скольжение, то касательная составляющая F реакции равна все время Nf (п. 195). Если одновременно происходят и качение и скольжение, то необходимо ввести совместно оба трения. В этом случае, обычно, пренебрегают трением качения.
197. Трение верчения. Можно допустить в наиболее простых случаях, что при равновесии момент пары трения верчения меньше чем eN, где е— линейный коэффициент, аналогичный 8. При движении этот момент равен eN. Для более подробного изучения трения верчения мы отсылаем к докторской диссертации Леоте (Париж, 1876).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Тяжелое твердое тело положено на наклонную плоскость, наклон которой можно изменять. Показать, что скольжение будет происходить в том случае, если наклон плоскости равен углу трения или больше его.
2. Найти условие равновесия клинового пресса, принимая во внимание трение между обеими щеками клина и брусьями (п. 169, рис. 111); Обозначая через / коэффициент трения между обеими щеками и брусьями, получим в предельном случае, когда клин начинает скользить,
P=QR slna + /c0sa .
COS а — / sin а
3. Найти положение равновесия тяжелого однородного стержня AB, концы которого скользят с трением по двум плоскостям, из которых одна горизонтальна, а другая вертикальна. (Необходимо, чтобы вертикаль центра тяжести проходила через общую часть обоих конусов вращения с вершинами в точках А и В, оси которых нормальны к обеим плоскостям, а половины углов при вершинах равны углам трения.) ГЛАВА IX. ПОНЯТИЕ O ТРЕНИИ
265
4. В предыдущей задаче предполагается, что точка В, в которой стержень опирается на вертикальную плоскость, перемещается по вертикали в зтой плоскости. Определить: 1) крайние точки, между которыми должна перемещаться точка В по этой вертикали и 2) кривую, внутри которой должна находиться точка А, чтобы было равновесие.
5. Однородный тяжелый цилиндр вращения положен на наклонную плоскость таким образом, что его образующие горизонтальны. Известен коэффициент В трения качения. Какое наименьшее значение нужно придать наклону плоскости, чтобы началось качение? (В этом упражнении допускается, что качение начинается при меньшем наклоне плоскости, чем при скольжении.)
6. Однородная тяжелая цепь положена на поперечное сечение круглого цилиндра, ось которого горизонтальна, таким образом, что концы свешиваются с обеих сторон цилиндра. Каковы возможные положения равновесия если предположить, что имеется трение? ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ДИНАМИКА ТОЧКИ
ГЛАВА X
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ.
ДВИЖЕНИЕ СНАРЯДОВ
I. Общие теоремы
198. Уравнения движения. Интегралы. В главе Ш мы видели, что если точка M находится в движении под действием некоторых сил, имеющих равнодействующую F, то ускорение j этой точки и сила F имеют одинаковые направления и их величины связаны соотношением
F = mj,
где т — масса точки. Говоря на языке алгебры, мы получили дифференциальные уравнения движения.
Пусть X, у, я — координаты движущейся точки относительно трех произвольных осей, X, Y, Z—составляющие силы F по этим осям. Проекции силы F равны проекциям ускорения j, умноженным на массу т, и мы получаем таким образом три уравнения движения еРх „ d*y v (ViZ 7 ...
т~Ж = Х' mIW^z- (1>
Если предположить, что точка M совершенно свободна, то действующие на нее силы зависят, в общем случае, от положения, скорости и времени. Следовательно, проекции X, Y, Z равнодействую-
, dx dy dz ,
щей являются заданными функциями от х, у, г, , , , t,
т. е. от л;, у, г, х', у', г', t, если употреблять обозначения Лагранжа для производных: = х', ... Тогда уравнения (1) образуют систему трех совместных Дифференциальных уравнений второго порядка, определяющих х, у, г в функции t. Эту систему можно заменить системой шести совместных уравнений первого порядка
dx _ аУ _ v/ dz
dt -~х ' dt —у ' dt —2 '
dz' _ z
dt т. ' dt m ' dt m
ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 267"
определяющих переменные X, у, Z, х', у', z' в функции t. Общие интегралы этих уравнений содержат шесть произвольных постоянных; они имеют вид:
х=<? tf, C1, C2, C3, C4, C5, C6), у = ^tf, C1, C2, C3, C4, C5, C6), z = wtf, C1, C2, C3, C4, C5, C6), j
откуда получаем:
x' = <?'{t, C1.....C6),
(2)
у'= y(t, C1.....C6), > (3)
У = «>'(*. C1.....C6), J
