Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
4. Если подставить выражение для энергии (3.21) в (3.17), то получим уравнение
описывающее движение электрона с неравными по осям массами тх, ту, /?1) в поле cIL (г). Особенно простой вид имеет уравнение (3.23), когда тензор твырождается в скаляр
1J Необходимо помнить, что оси X, у и г совпадают с главными осями тензора m~?, т. е. определенным образом ориентированы относительно кристалла. 212
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
mx = my = mz = m* и поле 41 (г) = 0, тогда
= (3.23а)
что соответствует свободной частице с перенормированной массой (т—і-т*).
Такая ситуация может иметь место, когда минимум энергии е„ (к) находится в центре бриллюэновской зоны кубического кристалла.
Следует, однако, иметь в виду, что уравнение (3.23) было получено в предположении, что еп(А) может быть заменено на (3.21) во всей бриллюэновской зоне, что, вообще говоря, неверно, даже в том случае, когда электроны движутся вблизи экстремума энергии.
Строгая теория, развитая В. Коном и И. Латтинджером (1955), обобщенная и на случай вырожденных зон, показывает, что уравнение (3.17) описывает только плавно изменяющуюся часть F (г) волновой функции, а полная волновая функция электрона
Ч) (г) = F (г) Unka (г)е^, (3.24)
где Unka (г)— амплитудный множитель функции Блоха (3.1) в точке A = A0. С другой стороны, в некоторых случаях в качестве волновой функции электрона достаточно использовать ее плавно изменяющуюся часть F (г), а собственные значения энергии электрона определять из уравнения (3.23).
5. В гл. II, § 8, п. 3 было показано, что энергетическая поверхность электрона в поле кристалла en(fe) = const, обладает симметрией точечной группы решетки Sr; было также отмечено, что во всех случаях en (—к) = гп (k), т. е. поверхность e„(A)=const обладает центром симметрии (независимо от того, обладает ли им кристаллическая решетка).
Таким образом, если, например, в кубической решетке в какой-либо произвольной точке kQ обратного пространства, не расположенной на каком-либо элементе симметрии, имеется экстремум en(k0), то в зоне Бриллюэна должно быть еще 48 симметрично расположенных экстремумов. Если k0 совпадает с направлением flOOj, то будет всего шесть экстремумов, а изо-энергетические поверхности будут эллипсоидами вращения (3.15) с осями симметрии, совпадающими с направлением [ 1OOJ. Если центры этих эллипсоидов, т. е., другими словами, минимумы энергии е„, лежат в центрах граней зоны Бриллюэна, то половина каждого эллипсоида расположена за пределами первой зоны; на последнюю приходится шесть полуэллипсоидов, что эквивалентно трем целым эллипсоидам. §3]
ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
213
Аналогичная ситуация изображена для плоской квадратной решетки на рис. IV.1. На рис. IVJ, а и б показаны в А-про-странстве «эллипсы постоянной энергии» для случаев, когда минимумы энергии расположены в четырех эквивалентных (симметричных) точках внутри зоны Бриллюэна и на ее гранях. Рис. IV. 1, в изображает периодическую повторяемость структуры, которая показана на рис. IV.1, б. Подобные и более сложные структуры энергетических зон являются не только теоретически возможными, но и действительно реализуются во многих веществах (кремний, германий и др.). Ниже мы остановимся на этом подробнее.
6. Условия цикличности Борна — Кармана, налагаемые на блоховскую волновую функцию электрона или на колебания атомов решетки, приводят к тому, что волновые векторы k и q принимают G3 квазидискретных значений (гл. II, § 9, п. 1). Таким образом, можно говорить о числе состояний электрона в объеме V в области А-пространства йтк или в интервале энергии (є, е + de).
Поскольку выражение для q (II 1.5.24) совпадает с выражением для А (3.2), число состояний электрона в интервале энергии (є, e + de), если учесть (III.5.27), равно
^wde=Wl ш (3-25)
п е < En (к) < e + de
а плотность состояний, аналогично (III.5.32), равна
п
где VftEn^gradften(A) и интегрирование ведется по поверхности е„ (A) =const; вывод выражений (3.25) и (3.26) ничем не отличается от вычисления функции распределения частот в гл. III, § 5, п. 6; необходимо только заменить q—>-А и со,-—>-еп.
Применим эту формулу к простому случаю одной зоны, когда энергия определяется выражением (3.22а) и, следовательно, иэо-
(? V)
K-J О Cs) fa > с
(о) А
а) б)
W 5 с п и 5 с п и :> с п
U D с п U Э с п U D с п
и 5 с п U Ь с п и D с С\
в)
Рис. IV. 1. 214
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
энергетические поверхности — сферы. В этом случае , J . de /1?
а поверхность сферы а = 4л/г2.
Плотность состояний в 1 см3 (V=I см3) будет раЕна
8 <е> = І ^ = -g К"в es, в'/', (3.27)
где мы опять воспользовались выражением (3.22а) для того, чтобы от k перейти к е.
Этот же результат можно получить прямо из Приложения 4.
Рассматривая формулу (П.4.1) для переменного импульса р и, понимая под AN = tis число квантовых состояний для свободных электронов с импульсом, меньшим р, получим (AV = 1 CM3)
j 1 р2 dp an, = -*—- . я2 P
