Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Вычислим действие оператора exp(arV) на блоховскую волновую функцию Vnk (г). Разлагая экспоненту в ряд, получим
ехр (at ¦ V) Vnk (г) = [ 1 + at ¦ V + V3 (а, ¦ V)2 + .. • ] (г) =
1,2,3
= Vnk (Г) + afiVnk ('') + 4" E «йхв/р gj- Wink (Г)] + ... =
а, ? а ?
= Vnk(r + ai), (3.11)
где полученный ряд можно рассматривать как ряд Тейлора по степеням прямоугольных составляющих вектора at.
Подставляя в (3.10) —tV вместо k и используя (3.11), получим
% (-- tV) Vnk (г) = 2 c,eaiyVnk (г) = 2 сл|>л* (r+at) = / і
= 2C/e,fa4* (г) = Єп (к) Vnk (Г). (3.12) і
Соотношение (3.12) получило название теоремы Ванье\ при ее выводе предполагалось, что энергия ъп(к) при данном к не вырождена.
Пусть на электрон проводимости в кристалле, помимо периодического поля V (г), действует дополнительное поле eIL (г) (например, внешнее электрическое поле или потенциал примесного иона); тогда уравнение Шредингера для электрона имеет вид
т (Г) = [-Г+ V(Г)+V (Г)] яр (г) = еф (г). (3.13)
Разложим волновую функцию гр (г) по полной системе блохов-еких функций Vnk (г), удовлетворяющих уравнению (3.7):
l>(r) = 22c«*1>«*(r). (3.14)
п А
Здесь Cnk—коэффициенты разложения.
Подставляя (3.14) в (3.13) и учитывая, что Vnk (г)—собственные функции уравнения (3.7), получим
§ev (Г) = 2 2 Cnk [е„ (к) + % (г)] Vnk = Єф(г). (3.15)
п k
Используя (3.12), получим
§CV (г) = 2 [е„ (- і V) + eU (г)] 2 CnkVnk = вг|) (г). (3.16)
п k
Если с достаточным приближением можно использовать блохов-ские функции одной зоны, например п-й, то
К (- iV) + V (г)] яр (г) = егр (г). (3.17)
В этом приближении уравнение Шредингера (3.13) заменяется уравнением (3.17), в котором уже не фигурирует периодический 210
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
потенциал V (г). На первый взгляд практическая польза от этого невелика, так как в уравнении (3.17) надо знать гп (k) во всей зоне Бриллюэна, а для этого надо определить собственные значения энергии в уравнении (3.13). Можно, однако, пытаться использовать приближенные выражения для &n{k).
3. Если в точке k = k0 энергия en(k) обладает минимумом или максимумом, то ее можно вблизи этой точки разложить в ряд
еп(к) = еп(к0) + ^(жж-) (*«-*«) (ЗЛ8)
а, ? а 0 /k-ko
где ka и ftp — прямоугольные составляющие вектора k. Мы ограничились в (3.18) разложением до квадратичных членов и учли, что в точке экстремума первые производные (deJdka)k=ko = 0. Так как энергия гп—скаляр, a k — вектор, то величины (д2єJdka?kft)^ — компоненты тензора второго ранга (Приложение 11). Приводя этот тензор к главным осям и перенося начало отсчета энергии и волнового вектора в точку экстремума (en(kо) = О, A0 = O), получим
Для того чтобы максимально приблизить описание движения электрона в периодическом поле к движению свободного электрона, введем тензор обратной эффективной массы
1 _ 1 / дЧп
т
a?
(3.19)
компоненты которого в главных осях равны
1 1 /дНп'
PKdkUo' (ЗЛ9а)
Введем квазиимпульс
p = %k, (3.20)
отличающийся от волнового вектора k только постоянным множителем Ti и поэтому обладающий свойствами (3.2) — (3.3а).
Заметим, что тензор обратной эффективной массы имеет размерность (масса)-1, а квазиимпульс — размерность импульса. Из выражений (3.18а), (3.19а) и (3.20) следует, что
a a a a
т. е. имеет вид кинетической энергии электрона с различными массами по осям х, у и z. Величины та, имеющие размерность массы, не являются компонентами тензора (так как величины, обратные компонентам тензора, вообще говоря, не образуют §3] ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 211
тензор), однако для сокращения их часто называют тензором эффективной массы. Следует иметь в виду, что формула (3.18) имеет место только для малых ра, т. е. в случае ра<^.%!а (а — постоянная решетки), что обычно хорошо выполняется в полупроводниках из-за малой концентрации электронов проводимости. Вблизи точек k0, в которых e,„(k0) принимает экстремальное значение, изоэнергетические поверхности en(k)= = const имеют вид эллипсоидов.
Наконец, в том случае, когда все три компоненты тензора 1/та одинаковы, можно ввести скалярную эффективную массу т*, положив
т* та tbAdkl)*, P V dkl /*. ^2Ukl Jllo- { '
Энергия электрона в этом случае равна
гп (k) = fak2l2m* = p2/2m\ (3.22а)
т. е. равна кинетической энергии свободного электрона с массой т* и импульсом р.
У нижнего края зоны, там где еп (k) достигает минимума,
1----1 > о, т. е. эффективная масса та положительна.
та Ii2Kdk1aZk,
Наоборот, вблизи максимума е„ (к) вторые производные ( —) < 0
V dka Jka
и эффективные массы отрицательны. Ниже мы увидим, что эффективные массы, так же как и обычные массы, определяют отношение силы к ускорению. Если та < 0, то направление ускорения электрона противоположно направлению действующей на него силы. Это не должно удивлять нас, так как метод эффективной массы простейшим образом учитывает влияние на электрон периодического поля кристалла, а совместное действие периодического поля и внешней силы может для электрона, обладающего волновыми свойствами, приводить к указанному выше эффекту.
