Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
В самом деле, если бы это представление было приводимым, то матрицы Г (R) можно было бы соответствующим преобразованием подобия (или, иначе, соответствующим выбором / базисных функций (7.2)) привести к квазидиагональному виду, например к двум блокам рангов п и I—п, расположенных вдоль главной диагонали матрицы Г (R). В этом случае п функций из (7.2) преобразовывались бы, при всех преобразованиях симметрии R, только друг через друга и то же имело бы место для остальных I—п функций. Таким образом, каждая из двух групп функций вела бы себя так, как будто она принадлежала некоторому определенному уровню энергии, но тогда было бы маловероятным, и, во всяком случае, не связанным с симметрией гамильтониана Ж (х) такое случайное совпадение обоих уровней энергии (случайное вырождение).
Таким образом, мы будем считать, что каждому уровню энергии соответствует определенное неприводимое представление группы уравнения Шредингера. Конечно, разным уровням энергии может соответствовать одно и то же неприводимое представление. Например, мы увидим дальше, что неприводимые представления электрона в атоме, в одночастичном приближении, характеризуются орбитальным квантовым числом I, так что s-состояние (/ = 0), р-состояние (/=1), d-состояние (1 = 2) и т. д. — различные неприводимые представления непрерывной группы вращений. При этом каждому уровню энергии электрона соответствует свое неприводимое представление с заданным /. Но, конечно, разным уровням энергии с различными главными квантовыми числами п могут соответствовать одни и те же неприводимые представления с одинаковым I.
Рассмотрим атом в узле кубической кристаллической решетки, и пусть результирующее поле, действующее на атом, обладает симметрией группы О (приближение, когда действие всех остальных электронов и ядер решетки можно заменить электрическим полем, обладающим симметрией решетки), которая имеет пять неприводимых представлений (табл. II.7). Тогда все уровни электрона атома в узле кубического кристалла должны принадлежать к одному из пяти неприводимых представлений группы О. Таким образом, можно сказать, что в поле симметрии О не могут существовать уровни энергии с кратностью вырождения, большей трех.
В следующем параграфе мы рассмотрим вопрос, как расщепляются уровни энергии валентного атома при действии на него 84 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ
1ГЛ. Il
кристаллического поля, обладающего симметрией О или
2. Рассмотрим важный случай, когда гамильтониан Ж в (7.1) может быть представлен как сумма
Ж = Ж0+Ж', (7.16)
причем симметрия Ж' ниже симметрии Жй, так что группа симметрии Ж' является подгруппой группы симметрии Ж0. Такая ситуация возникает, например, если наложить внешнее однородное электрическое поле E0 на атом, в результате чего сферическая симметрия для электронов атома нарушается возмущением Ж' =—еЕ0г (Е0Ц оси г).
Аналогичное понижение симметрии имеет место, если поместить атом в один из узлов кристаллической решетки и считать, что на электрон в атоме, помимо центральных сил, действующих со стороны ядра атома и его остальных электронов, дополнительно действует усредненное электрическое поле, определяемое симметрией решетки. Очевидно, что симметрия полного гамильтониана определяется его менее симметричной частью Ж'.
Рассмотрим, что произойдет с некоторым, вообще говоря, вырожденным уровнем энергии <?„, соответствующим гамильтониану Ж о, при «включении» гамильтониана Ж'. Поскольку группа Ж' 2) является подгруппой группы Жа, неприводимое представление уровня <?„ будет являться представлением, вообще говоря, приводимым группы Ж'. Это приводимое представление мы можем разложить на неприводимые представления группы Ж', и тогда, если энергия Ж' много меньше расстояния между термами энергии невозмущенного гамильтониана Жй, мы можем сказать, на сколько уровней и какой кратности вырождения расщепится уровень S0 под действием поля Ж. Однако мы ничего не можем сказать ни о величине этого расщепления, ни о том, в какой последовательности расположены расщепленные уровни.
Пусть невозмущенная система, т. е. гамильтониан Жа, обладает симметрией О (см. табл. 11.7). Нас интересует, что произойдет с неприводимым представлением F^ (трехкратно вырожденным уровнем F2) при наложении поля Ж' с симметрией D3 (см. табл. II.4), если его ось C3 совпадает с одной из осей C3 группы О. Можно увидеть, что элементы группы О: Е, 2 (C3, С|), 3C2 образуют подгруппу D3. Представление F2 является приво-
Как мы покажем дальше, группа О обладает в этом случае, с точки зрения характера расщепления термов, теми же свойствами, что и группа Oa = OXC/.
2) Мы говорим для краткости «группа вместо «группа симметрии Ж'*- §7]
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И ТЕОРИЯ ГРУПП
85
днмым представлением этой подгруппы (это видно уже из того, что подгруппа D3 не имеет неприводимых представлений с размерностью, равной трем). Итак, мы должны приводимое (для D3) представление F2 с характерами 3, 0, 1 (для элементов Е, 8 (C3, Cl) и 6C2) разложить на неприводимые представления T1, Г2 и Ts группы D3. По формулам (6.32) и (6.34) получим
