Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(AkBl) (Ak-Br) = (AkAk') (BlBr) = Ak-Br, (6.35)
где
Ar=AkAk' и Br=BlBr.
Покажем, что этому же закону умножения удовлетворяет прямое произведение представлений t1xt2; имеем
F1 (A^ X Г, (B1)] [Г^) X Г, (Д,,)] =
= T1 (Ak) T1 (Ak')X T2(B1) T2(Br) = = T1 (AkAk.) x T2 (BlBr) = T1 (Ar) x T2 (Br). (6.36)
Здесь первое равенство следует из (П.3.50), а последнее из (6.35). Мы видим, что прямые произведения T1XT2 удовлетворяют закону умножения (6.35).
Из (6.36) следует, что представление прямого произведения групп равно прямому произведению представлений, т. е.
Г (AkBl) = T1 (Aft) X Ta (B1). (6.37)
Используя (П.3.52), получим
Sp T (Aft) B1) = Sp [T1 (Aft) x T2 (5,)] = Sp T1(Aft) • Sp T2 (B1),
или
X (AkBl) = Xi (Ak) I2 (B1), (6.38)
т. е. характер представления прямого произведения групп для элемента AkBl равен произведению характеров представлений для элементов Aft и B1.
То, что это соотношение связывает характеры неприводимых представлений, может быть обосновано следующим образом. Из S 6]
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
77
(6.38) и (6.26) следует, что
21X (AkBl) Iа = SIX1 (Ak) I» 21 X2 (B1) Iа = Khb = h,
к, I к t
где ha, hb и h число элементов групп 21, 25 и их прямого произведения It X 33. Таким образом, если ЗЇ и 33 — неприводимые представления групп 9Х и 33, то T1X Г2 тоже неприводимое представление группы StxS (так как только для неприводимого представления выполняется соотношение (6.26).
Соотношение (6.38) облегчает составление таблиц характеров для тех групп, которые можно рассматривать как прямые произведения более простых групп.
В § 3, п. 4 мы видели, что группа Dnh = DnXCs, где группа Cs = (E1Oh). В табл. II.4 приведены характеры группы D3. В группе D3h вдвое большее число элементов, классов и представлений, чем в группе D3. Используя формулу (6.38), легко построить таблицу характеров группы D3h (табл. II.5). Вообще, если рассматриваемая группа Q есть прямое произведение некоторой группы M на группу второго порядка Cs или Ci с характерами табл. II.3, то таблица характеров группы Q определяется по схеме табл. II.6, где % — характеры группы Ж.
Таблица II.5
D3h E 3 C2 2 (C3; Cl) 3 OhC2 2ст* (С„;Сз)
rV 1 1 1 1 1 1
г2 + 1 —1 1 1 —1 I
Гз + 2 0 —1 2 0 —1
rI- 1 1 1 —1 —1 —1
V 1 —1 1 —1 1 —1
Гз- 2 0 —1 —2 0 1
В табл. 11.7 приведены характеры группы О и изоморфной ей группы Td. Обозначения неприводимых представлений в первом и втором столбцах даны соответственно по Баукерту, 78 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
Таблица II.6
g Классы Классы
Неприводимые представления X X
Неприводимые представления X —X
Таблица II.7
о Td E SC3 г 2 6С2 6С4
E SC3 зсі 6а 6S4
Tl A1 T1 A1 1 1 1 1 1
Г2 Аг Г2 A2 1 1 1 — 1 —1
Tl2 E Ги E 2 —1 2 0 0
Гі5 Fi хуг T25 Fi 3 0 _1 —1 1
г26 F2 Ti5 F2 хуг 3 0 —1 1 —1
Смолуховскому и Вигнеру и по статьям, посвященным молекулярным спектрам (в последнем случае принято обозначать через А одномерные, E — двумерные и F (или T)—трехмерные представления).
Поскольку полная группа симметрии куба Oh = OxCh где Ci = {Е, J}, таблица характеров группы Oh может быть получена из табл. II.7 посредством применения схемы табл. II.6.
Если для некоторой точечной группы элементы R и R относятся к разным классам (это имеет, например, место, если ось вращения для элемента R не является двусторонней), тогда для некоторого неприводимого представления
Г (R-1) = Г-1 (R) = Г+ (R) = Г* (R), §7]
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И ТЕОРИЯ ГРУПП
79
так как Г—унитарная матрица; отсюда
T(R-I)ik = V(R)kh
и, следовательно,
X (ft"1) =2 Г (R-% = 2 Г* (R)11 = X* (ft), і і
или
X (ft"1) = х* (ft). (6.39)
т. е. характеры элементов А и R-1 комплексно сопряжены.
Таблица II.8
C3 E C3 с!
Tl 1 1 1
Г' 1 со CO2
Ir. 1 О)2 0)
0) = е2Я''/з
В табл. II.8 даны характеры группы C3, для которой элементы и C3 и C31 относятся к разным классам *). Мы видим, что действительно для представления Г2
% (C3) = со = е2л,'/з и X(Cia) = W3 = е4Я1'/3 = е-2Я''/3, X(C3) = X*^1).
Аналогичная ситуация имеет место для неприводимого представления Г,.
§ 7. Квантовая механика и теория групп
1. В начале § 6 мы уже указали, что матричные представления групп симметрии естественно возникают при рассмотрении физических проблем.
Важнейшим примером этого является рассмотрение решений стационарного уравнения Шредингера.
Представим себе физическую систему в конфигурационном пространстве п координат X1, X2.....хп, образующих /г-мерный
х) Более полные таблицы характеров точечных групп, см., например, у Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика.—M.: Наука, 1974, с. 434. 80 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
вектор x = {xlt х2, ..., хп}. Волновая функция системы Ip (лг) в стационарном состоянии удовлетворяет уравнению Шредингера
M(X)^(X) = S^(X), (7.1)
где Ж (х) — гамильтониан системы, <§—собственное значение ее энергии.
Если состояние с энергией ? /-кратно вырождено, то ему соответствуют I линейно независимых собственных функций:
