Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
В трехмерном кристалле поверхностный уровень превращается в поверхностную зону энергии, число состояний в которой порядка 101?, т. е. порядка числа атомов на 1 см2 поверхности. Хотя для данного образца кристалла число поверхностных состояний может быть сравнимо с числом локальных примесных уровней, роль их обычно невелика, так как зарядка поверхности вызывает значительное изменение ее потенциала, препятствующее переходу на поверхностные уровни других электронов.
§ 3. Экситоны
1. Зонная теория, основанная на одноэлектронном приближении, учитывает все возможные квантовые состояния электрона в кристалле. При этом предполагается, что действие всех атомных ядер и всех остальных электронов на данный сводится к некоторому внешнему самосогласованному трехмерно периодическому полю. У диэлектрика или собственного полупроводника электроны полностью заполняют валентную зону, так что минимальная энергия возбуждения электрона связана с его переходом из заполненной валентной зоны в свободную зону проводимости. При каждом таком переходе возникают носители тока: электрон в зоне проводимости и дырка в валентной зоне.
Опыт, однако, показывает, что поглощение света в диэлектрике при частотах, соответствующих электронному возбуждению, не всегда сопровождается появлением носителей тока (фотопроводимостью). Как было впервые показано Я. И. Френкелем (1931), это может быть связано с особыми бестоковыми электронными возбуждениями кристалла, обладающими некоторым квазиимпульсом и энергией поступательного движения. Я. И. Френкель назвал эти возбуждения экситонами. Конечно, экситонные возбуждения, строго говоря, выходят за рамки одноэлектронного приближения, однако в некотором смысле их можно включить в зонную картину, если дополнительно учесть взаимодействие §3]
экситоны
319
между электроном в зоне проводимости и дыркой в валентной зоне (Мотт, Ванье).
В дальнейшем нас будут интересовать только связанные состояния электрона и дырки, взаимодействующие друг с другом. Если размеры такого экситона велики по сравнению с постоянной решетки, то взаимодействие электрона и дырки можно с хорошим приближением рассматривать как кулоновское взаимодействие двух точечных зарядов, ослабленное в е0 раз, где е0—статическая диэлектрическая постоянная кристалла.
Для валентных кристаллов германия и кремния можно с достаточным для наших целей приближением положить є0 = /г2, где п — показатель преломления.
Рассмотрим уравнение Шредингера для электрона и дырки, движущихся в периодическом поле кристалла и взаимодействующих друг с другом по закону Кулона.
Пусть г„ и г р—радиусы-векторы электрона и дырки, a knyikp — волновые векторы электрона и дырки (kp = — k'n, где k'n—волновой вектор электрона, соответствующего дырке в валентной зоне). Обозначим через Bc(kn) и Bv(Itp) энергии электрона в зоне проводимости и дырки в валентной зоне.
Обобщая уравнение Ванье (IV.3.13) на систему, состоящую из электрона и дырки, взаимодействующих друг с другом по закону Кулона, имеем
[eg (- t'V„) — Bv (іур) Єо j Jfr (r„ rp) = g^(rn,rp), (3.1)
где Vn и Vit,—операторы в координатах электрона и дырки, S—энергия всей системы; положительная кинетическая энергия Bv отсчитывается в направлении, противоположном направлению отсчета кинетической энергии вс.
Если минимум энергии Bc (kn) и максимум энергии Bv (kp) расположены в центре бриллюэновской зоны и законы дисперсии энергий электронов и дырок характеризуются скалярными эффективными массами т„ и тр, то вблизи экстремумов
fakl
Подставляя эти разложения в (3.1), получим1)
[ -Ш,Г Ъ - 2% ^2p B0 I Tn-Tp і ] + С.. О) = (tf-eo) 1 (Г., гр),
(3.1а)
где ширина запрещенной зоны єо = ес(0) — 6^(0).
1J Как уже отмечалось в гл. IV, § 3 в уравнении (3.1а) стоит не полная волновая функция (3.1), а ее плавно изменяющаяся часть. 320 локализованные состояния электрона [гл. V
Введем радиусы-векторы У?—центра тяжести электрона и дырки и г—положения электрона относительно дырки;
'-=St^s ¦ r-r.-rr м
Уравнение (3.1а) в новых координатах Rur имеет вид (см. Приложение 16)
Здесь М = т„ + гПр—масса экситона, ц—приведенная масса электрона и дырки: — = -7- + —-, V« и Vr—операторы Лапласа в пе-
JA TTln TTlp
ременных Rar.
Уравнение (3.3) решается разделением переменных
Ч>(Я,'г) = х(Я)ф(г). (3.4)
Подставляя (3.4) в (3.3) и деля обе части уравнения на %(R)<f(r), получим
-MШ v*x <*> ¦-ш [ж v?(p 'r)+V ф H =s~eo-
Так как первое слагаемое левой части зависит только от R1 второе—только от г, а их сумма, равная S—eG,—константа, то как первое, так и второе слагаемое—тоже постоянные величины, так что
-W Vk (Я) = ^X (Я), (3.5)
-Ir ^ И'~Т7 Ф И = е<Р (ГЬ (3.5а)
где
2ц V > е0г
Уравнение (3.5) описывает свободное движение частицы (экситона) с массой М.=тп-\-тр и энергией
W = A2K2 /2М, (3.6)
где К—волновой вектор плоской волны, соответствующий свободному движению экситона.
Уравнение (3.5а) описывает относительное движение электрона и дырки, которое можно представить себе как движение электрона с массой (д. вокруг неподвижной дырки. Связанным состояниям электрона и дырки соответствуют дискретные отрицательные значения энергии е = ег; эти водородоподобные термы определяются выражением (2.2), в котором надо заменить эффективную массу т* приведенной массой ц. Радиус экситона аналогично §3]
