Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
В следующей главе мы подробно рассмотрим статистическое распределение электронов между донорами, акцепторами, валентной зоной и зоной проводимости. Как мы увидим, в общем случае это распределение, а следовательно, и число носителей тока весьма чувствительно к температуре кристалла, что является характерной особенностью полупроводников.
2. При рассмотрении состояний электрона примеси в кремнии необходимо учесть тензорный характер эффективной массы и наличие шести эквивалентных минимумов энергии в зоне проводимости, расположенных на осях [100] (гл. IV, § 15); последнее приводит к шестикратному вырождению волновой функции электрона, которое частично снимается в поле кристалла.
Рассмотрим, как и в предыдущем пункте, ls-состояние электрона в примесном атоме.
Мы уже отмечали, что уравнение Шредингера в приближении эффективной массы (IV.3.23), (IV.3.24) на самом деле удовлетворяется плавной частью F (г) волновой функции электрона. Из-за наличия шести эквивалентных минимумов в зоне проводимости шестикратно вырожденная волновая функция электрона равна ф«> (г) = F<'> (г) ф*. (г), 1 = 1,2,..., 6. (2.4)
Здесь (г)—блоховская функция электрона проводимости в точке минимума энергии k{\ мы предполагаем, что при данном і функции (г) не вырождены. Функции Fin (г) удовлетворяют уравнению с эффективными массами (IV.3.23)
<2'5)
Здесь /Пи = 0,92т — продольная, тд. = 0,19т—поперечная эффективные массы электрона в кремнии (т—масса свободного электрона) (гл. IV, § 15). Ось Xi параллельна kt. Шесть вырожденных волновых функций (2.4) образуют базис представления (вообще говоря, приводимого) группы симметрии нашей системы, а именно: группы тетраэдра Td. Для того чтобы определить характер расщепления шестикратно вырожденного уровня, соответствующего (2.4), необходимо определить характеры этого приводимого представления и разложить его по неприводимым представлениям группы Td.
Для того чтобыопределить характеры приводимого представления, соответствующего базису (2,4), необходимо исследовать, как преобразуются друг через друга функции іЦ(/") при пре- 314
локализованные состояния электрона
[гл. v
образованиях симметрии группы Td. Очевидно, что функции Mph1 {Г) преобразуются друг через друга так же, как преобразуются друг через друга точки минимумов Так как точки k; расположены на осях ±х, ±у, ±гна одинаковых расстояниях от начала координат, то можно сказать, что функции (г) преобразуются как шесть функций: х, —х, у, —у, z, —z (если абсолютные величины всех шести координат одинаковы).
Группа Td имеет пять классов: Е, 8C3, ЗС4, 6а, 6S4 (см. табл. II.7).
Очевидно, что при единичном преобразовании E х—*х, —л:—»-—X, у—у у, ..., поэтому шпур соответствующей матрицы преобразования, т. е. характер равен 6.
Для преобразования C3 (ось [111] имеем х->- у—> z ->-х, —X—»-—у—>—г—»-—X, т. е. вдоль главной диагонали матрицы стоят только нули, поэтому соответствующий характер равен нулю. Для преобразования CJ (ось [100] получим л:—*х,—х—»-—л:, у—>•—у—у у, Z—>••—Z—>z. Мы видим, что на главной диагонали матрицы стоят две единицы, поэтому характер равен двум.
Совершенно аналогично можно показать, что характеры для классов а и S4 равны 2 и 0.
Используя табл. II.7 и полученные значения характеров, получим табл. V.l.
Таблица V.1
E 8 C3 ЗСІ Gcj 6 S4
A1 1 1 1 I 1
A2 1 1 1 — 1 — 1
E 2 — 1 2 0 0
F1 3 0 — 1 —1 1
F2 3 0 — 1 1 — 1
Is 6 0 2 2 0
Используя общий прием разложения представления по неприводимым представлениям (гл. II, § 6, п. 4) или просто сравнивая характеры представления Is с характерами неприводимых § 2]
СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОНА В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ
315
представлений группы Td, получим
ls = A1 + E + F.
2*
(2.6)
откуда следует, что шестикратно вырожденное состояние донора Is расщепляется под действием поля кристалла на невырожденный, двукратно вырожденный и трехкратно вырожденный уровни.
3. Мы рассмотрели донорные и акцепторные состояния электронов и дырок в медленно меняющихся полях примесных ионов, когда можно пользоваться методом эффективной массы, т. е. уравнением (1.9). Как мы видели в п. 3 предыдущего параграфа,
если .......досхиїдет. определенной
величины. ¦то-она.таіже_приврдііт..к.отпірпден^ уровня энергии от дна или потолка энергетической зоны, давая связанные электронные состояния донорнога иди акцепторного типа.
Так как примесные ионы (в особенности отрицательные) нельзя рассматривать как точечные, то в некоторых случаях создаваемое ими поле более близко к локализованному возмущению, чем к кулоновскому потенциалу. В этом случае формула (2.2) неприменима и, как правило, появляются более глубокие примесные уровни.
Например, золото в кремнии дает донорный уровень, расположенный выше валентной зоны на 0,35 эв, и акцепторный уровень, расположенный на 0,54 эв ниже зоны проводимости1).
После присоединения одного электрона к положительному иону образуется нейтральный атом, поле которого с хорошим приближением описывается экранирующим потенциалом вида
где 1/а—эффективный радиус действия поля. Если 1/а порядка постоянной решетки, то возмущение (2.7) можно рассматривать как локализованное. Так как в поле потенциала (2.7) при не слишком малых 1/а могут существовать связанные состояния электронов, то такой атом может захватить еще один электрон, поэтому в некоторых случаях примесные уровни могут быть многозарядны.
